Check your intuition: The birthday problem - David Knuffke

בדקו את האינטואיציה שלכם: בעיית יום ההולדת - דייויד קנופקה

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Roni Ravia

Imagine a group of people.

דמיינו קבוצה של אנשים.

How big do you think the group would have to be

כמה גדולה היא צריכה להיות

before there's more than a 50% chance that two people in the group

לפני שיהיה סיכוי של יותר מ 50% שלשני אנשים בקבוצה

have the same birthday?

יהיה אותו יום הולדת?

Assume for the sake of argument that there are no twins,

הניחו לצורך הטיעון שאין תאומים,

that every birthday is equally likely,

שלכל יום הולדת יש אותה סבירות,

and ignore leap years.

והתעלמו משנים מעוברות.

Take a moment to think about it.

קחו רגע לחשוב על זה.

The answer may seem surprisingly low.

אולי זה מפתיע שהמספר נראה די נמוך.

In a group of 23 people,

בקבוצה של 23 אנשים,

there's a 50.73% chance that two people will share the same birthday.

יש סיכוי של 50.73% ששני אנשים יחלקו את אותו יום הולדת.

But with 365 days in a year,

אבל עם 365 ימים בשנה,

how's it possible that you need such a small group

איך זה אפשרי שצריך קבוצה כזו קטנה

to get even odds of a shared birthday?

כדי לקבל סיכוי של 50/50 ליום הולדת משותף?

Why is our intuition so wrong?

למה האינטואיציה שלנו כל כך טועה?

To figure out the answer,

כדי להבין את התשובה,

let's look at one way a mathematician

בואו נבחן דרך אחת שמתמטיקאי עשוי לחשב

might calculate the odds of a birthday match.

את הסיכויים ליום הולדת זהה.

We can use a field of mathematics known as combinatorics,

ניתן להשתמש בענף במתמטיקה הידוע בשם קומבינטוריקה,

which deals with the likelihoods of different combinations.

שעוסק בהסתברות של צרופים שונים.

The first step is to flip the problem.

השלב הראשון הוא להפוך את הבעיה.

Trying to calculate the odds of a match directly is challenging

לנסות לחשב ישירות את הסיכויים ליום הולדת זהה זה מאתגר

because there are many ways you could get a birthday match in a group.

בגלל שיש כל כך הרבה דרכים לקבל התאמה של יום הולדת בקבוצה.

Instead, it's easier to calculate the odds that everyone's birthday is different.

במקום, קל יותר לחשב את הסיכויים שלכל אחד בקבוצה יש יום הולדת שונה.

How does that help?

איך זה עוזר?

Either there's a birthday match in the group, or there isn't,

או שיש התאמה ביום ההולדת בקבוצה, או שלא,

so the odds of a match and the odds of no match

אז הסיכויים להתאמה והסיכויים לחוסר התאמה

must add up to 100%.

חייבים להסתכם ב 100%.

That means we can find the probability of a match

זה אומר שניתן למצוא את ההסתברות של התאמה

by subtracting the probability of no match from 100.

על ידי הפחתת ההסתברות של חוסר התאמה מ 100.

To calculate the odds of no match, start small.

כדי לחשב את ההסתברות של חוסר התאמה, התחילו בקטן.

Calculate the odds that just one pair of people have different birthdays.

חשבו את הסיכויים שלזוג אחד של אנשים יש יום הולדת שונה.

One day of the year will be Person A's birthday,

יום אחד של השנה יהיה יום ההולדת של אדם א',

which leaves only 364 possible birthdays for Person B.

מה שמשאיר רק 364 ימי הולדת אפשריים לאדם ב'.

The probability of different birthdays for A and B, or any pair of people,

ההסתברות של ימי הולדת שונים לא' ו ב', או כל זוג אנשים,

is 364 out of 365,

הוא 364 מתוך 365,

about 0.997, or 99.7%, pretty high.

בערך 0.997, או 99.7%, די גבוה.

Bring in Person C.

הכניסו את אדם ג'.

The probability that she has a unique birthday in this small group

ההסתברות שיש לה יום הולדת יחודי בקבוצה קטנה זו

is 363 out of 365

היא 363 מתוך 365

because there are two birthdates already accounted for by A and B.

בגלל שיש שני ימי הולדת שכבר נתפשו על ידי א' וב'.

D's odds will be 362 out of 365, and so on,

הסיכויים של ד' יהיו 362 מתוך 365, וכן הלאה,

all the way down to W's odds of 343 out of 365.

עד שהסיכוי של האדם ה 23 יהיה 343 מתוך 365.

Multiply all of those terms together,

הכפילו את כל האיברים האלה יחד,

and you'll get the probability that no one shares a birthday.

ותקבלו הסתברות שאף אחד לא חולק את אותו יום הולדת.

This works out to 0.4927,

זה יוצא 0.4927,

so there's a 49.27% chance that no one in the group of 23 people shares a birthday.

אז יש סיכוי של 49.72% שאף אחד בקבוצה של 23 אנשים לא חולק יום הולדת.

When we subtract that from 100, we get a 50.73% chance

כשמפחיתים את זה מ 100, אנחנו מקבלים סיכוי של 50.73%

of at least one birthday match,

של לפחות יום הולדת אחד זהה,

better than even odds.

טוב יותר מסיכוי של 50/50.

The key to such a high probability of a match in a relatively small group

המפתח לסיכוי כזה גבוה להתאמה בקבוצה כזו קטנה

is the surprisingly large number of possible pairs.

הוא המספר המפתיע של זוגות אפשריים.

As a group grows, the number of possible combinations gets bigger much faster.

כשהקבוצה גדלה, מספר האפשרויות גדל אף מהר יותר.

A group of five people has ten possible pairs.

לקבוצה של חמישה אנשים יש עשרה זוגות אפשריים.

Each of the five people can be paired with any of the other four.

כל אחד מחמשת האנשים יכלו להיות מצוות לכל אחד מהארבעה האחרים.

Half of those combinations are redundant

חצי מהצרופים האלה הם כפולים

because pairing Person A with Person B is the same as pairing B with A,

בגלל שצרוף א' עם ב' זה אותו הדבר כמו צרוף של ב' עם א',

so we divide by two.

אז אנחנו מחלקים לשניים.

By the same reasoning,

עם אותו הגיון,

a group of ten people has 45 pairs,

לקבוצה של עשרה אנשים יש 45 זוגות,

and a group of 23 has 253.

ולקבוצה של 23 יש 253.

The number of pairs grows quadratically,

מספר הזוגות גדל כמו משוואה ריבועית,

meaning it's proportional to the square of the number of people in the group.

מה שאומר שהוא יחסי למספר האנשים בקבוצה בריבוע.

Unfortunately, our brains are notoriously bad

למרבה הצער, המוחות שלנו לא מצטיינים

at intuitively grasping non-linear functions.

בהבנה איטואיטיבית של פונקציות לא לינאריות.

So it seems improbable at first that 23 people could produce 253 possible pairs.

אז זה נראה לא סביר בהתחלה ש 23 אנשים ייצרו 253 זוגות אפשריים.

Once our brains accept that, the birthday problem makes more sense.

ברגע שהמוח שלנו מקבל את זה, בעיית יום ההולדת נעשית יותר הגיונית.

Every one of those 253 pairs is a chance for a birthday match.

כל אחד מ 253 הזוגות האלו הוא הזדמנות להתאמת יום הולדת.

For the same reason, in a group of 70 people,

מאותה סיבה, בקבוצה של 70 אנשים,

there are 2,415 possible pairs,

יש 2415 זוגות אפשריים,

and the probability that two people have the same birthday is more than 99.9%.

וההסתברות שלשני אנשים יש את אותו יום הולדת היא יותר מ 99.9%.

The birthday problem is just one example where math can show

בעית יום ההולדת היא רק דוגמה אחת בה מתמטיקה יכולה להראות

that things that seem impossible,

שדברים שנראים בלתי אפשריים,

like the same person winning the lottery twice,

כמו אדם שזוכה בלוטו פעמיים,

actually aren't unlikely at all.

למעשה יותר סבירים משחשבנו.

Sometimes coincidences aren't as coincidental as they seem.

לפעמים מקריות היא לא מקרית כמו שהיא נראית.