Check your intuition: The birthday problem - David Knuffke

直感を試してみよう: 誕生日の問題 ― デイビッド・クナフキー

翻訳: Misaki Sato 校正: Tomoyuki Suzuki

Imagine a group of people.

人の集まりを想像してみてください

How big do you think the group would have to be

何人いれば

before there's more than a 50% chance that two people in the group

誕生日が同じ人がいる確率が

have the same birthday?

50%を超えると思いますか？

Assume for the sake of argument that there are no twins,

ここでは 双子はおらず

that every birthday is equally likely,

どの誕生日の確率も同じで

and ignore leap years.

閏年は無視することにします

Take a moment to think about it.

しばらく考えてみてください

The answer may seem surprisingly low.

答えを聞くと驚くほどに 小さな数字に思えるかもしれませんが

In a group of 23 people,

23人のグループなら

there's a 50.73% chance that two people will share the same birthday.

同じ誕生日の人が２人いる確率は 50.73%です

But with 365 days in a year,

１年には365日もあるのに

how's it possible that you need such a small group

誕生日が重なる確率が50%となるのが

to get even odds of a shared birthday?

なぜ こんなに少ない人数に なり得るのでしょうか？

Why is our intuition so wrong?

なぜ こんなにも 直感が外れたのでしょうか？

To figure out the answer,

この答えを理解するために

let's look at one way a mathematician

誕生日が一致する確率を

might calculate the odds of a birthday match.

数学者が計算する方法を見てみましょう

We can use a field of mathematics known as combinatorics,

様々な組合せの起こり易さを 計算する―

which deals with the likelihoods of different combinations.

数学の一分野である 組合せ理論を用います

The first step is to flip the problem.

まず最初に問題を 逆の見方で考えてみます

Trying to calculate the odds of a match directly is challenging

誕生日が一致する確率を 直接計算するのはとても困難です

because there are many ways you could get a birthday match in a group.

なぜなら集団の中で誕生日が一致する パターンは非常に多くあるからです

Instead, it's easier to calculate the odds that everyone's birthday is different.

代わりに全員の誕生日が異なる確率を 求める方が簡単です

How does that help?

なぜ その方が良いのでしょうか？

Either there's a birthday match in the group, or there isn't,

グループの中で 誕生日が一致する人がいる確率と

so the odds of a match and the odds of no match

誰も一致しない確率を足すと

must add up to 100%.

100%になります

That means we can find the probability of a match

つまり 100から 一致しない確率を引けば

by subtracting the probability of no match from 100.

一致する確率が分かるわけです

To calculate the odds of no match, start small.

まず少ない数で 一致しない確率を計算しましょう

Calculate the odds that just one pair of people have different birthdays.

２人の誕生日が異なる確率を 計算します

One day of the year will be Person A's birthday,

１年のある１日が Aさんの誕生日だとすると

which leaves only 364 possible birthdays for Person B.

Bさんの誕生日は 364通りしかありません

The probability of different birthdays for A and B, or any pair of people,

２人の誕生日が異なる確率は

is 364 out of 365,

365分の364で

about 0.997, or 99.7%, pretty high.

約0.997 つまり99.7%と とても高いですね

Bring in Person C.

Cさんを加えてみましょう

The probability that she has a unique birthday in this small group

この小さなグループで 彼女の誕生日が異なる可能性は

is 363 out of 365

365分の363です

because there are two birthdates already accounted for by A and B.

それは 既にAとBの誕生日が 決まっているからです

D's odds will be 362 out of 365, and so on,

Dの確率は365分の362になります

all the way down to W's odds of 343 out of 365.

続けていくと23人目のWの確率は 365分の343になります

Multiply all of those terms together,

これらの数字をすべて掛けていけば

and you'll get the probability that no one shares a birthday.

全員の誕生日が異なる確率が 計算できます

This works out to 0.4927,

0.4927となるので

so there's a 49.27% chance that no one in the group of 23 people shares a birthday.

23人の誕生日が全て異なる可能性は 49.27%です

When we subtract that from 100, we get a 50.73% chance

それを100から引くと

of at least one birthday match,

少なくとも１組が 同じ誕生日である確率は

better than even odds.

50.73%になり 五分五分を超えています

The key to such a high probability of a match in a relatively small group

比較的少ない人数なのに 確率が高くなるのは

is the surprisingly large number of possible pairs.

実は考え得るペアの数が 非常に多いからです

As a group grows, the number of possible combinations gets bigger much faster.

グル－プが大きくなるにつれて 可能な組合せは急速に増加し

A group of five people has ten possible pairs.

５人のグループでは 10ペアが可能です

Each of the five people can be paired with any of the other four.

５人にはそれぞれ 他の４人とのペアが考えられます

Half of those combinations are redundant

AとB､BとAのペアは 同じものであり

because pairing Person A with Person B is the same as pairing B with A,

ペアの半分が 重複しているため

so we divide by two.

２で割ります

By the same reasoning,

同じ理由により

a group of ten people has 45 pairs,

10人のグループでは 45ペア

and a group of 23 has 253.

23人の場合は 253ペアになります

The number of pairs grows quadratically,

このペア数は人数の２乗に比例する

meaning it's proportional to the square of the number of people in the group.

二次関数的に増加していきます

Unfortunately, our brains are notoriously bad

あいにく人の脳は非線形関数を

at intuitively grasping non-linear functions.

直感的に把握するのが とても苦手なので

So it seems improbable at first that 23 people could produce 253 possible pairs.

23人いれば253通りものペアが可能だとは 思いつかないのです

Once our brains accept that, the birthday problem makes more sense.

これを受け入れれば誕生日の問題は 理にかなっていると思えるでしょう

Every one of those 253 pairs is a chance for a birthday match.

253組の どのペアにおいても ２人の誕生日が同じになる可能性があります

For the same reason, in a group of 70 people,

同様に70人のグループだと

there are 2,415 possible pairs,

2,415ペアが考えられ

and the probability that two people have the same birthday is more than 99.9%.

同じ誕生日の人が２人いる確率は 99.9%以上になります

The birthday problem is just one example where math can show

この誕生日の問題は 同じ人が２度宝くじに当たるといった

that things that seem impossible,

一見不可能に思えることが

like the same person winning the lottery twice,

実は全く起こり得ないことではないことを

actually aren't unlikely at all.

数学が示す一例にすぎません

Sometimes coincidences aren't as coincidental as they seem.

一見 偶然に見えることが 実は偶然ではないこともあるのです