Check your intuition: The birthday problem - David Knuffke

Проверьте свою интуицию: загадка дня рождения — Дэвид Кнуффке

Переводчик: Alena Chernykh Редактор: Yekaterina Jussupova

Imagine a group of people.

Представьте себе группу людей.

How big do you think the group would have to be

Сколько человек, по-вашему, должно быть в этой группе,

before there's more than a 50% chance that two people in the group

чтобы вероятность наличия в ней людей с совпадающими датами рождения

have the same birthday?

была больше 50%?

Assume for the sake of argument that there are no twins,

Предположим для простоты, что среди них нет близнецов,

that every birthday is equally likely,

что день рождения может выпадать на любой день,

and ignore leap years.

и исключим високосные годы.

Take a moment to think about it.

Подумайте, прежде чем ответить.

The answer may seem surprisingly low.

Ответ вас очень удивит.

In a group of 23 people,

В группе из 23 человек

there's a 50.73% chance that two people will share the same birthday.

вероятность, что день рождения совпадёт хотя бы у двух людей, составляет 50,73%.

But with 365 days in a year,

Но как возможно совпадение дней рождения

how's it possible that you need such a small group

в такой маленькой группе,

to get even odds of a shared birthday?

учитывая, что в году 365 дней?

Why is our intuition so wrong?

Почему интуиция так подводит нас ?

To figure out the answer,

Чтобы получить ответ,

let's look at one way a mathematician

давайте используем один математический приём,

might calculate the odds of a birthday match.

который поможет вычислить совпадения дней рождения.

We can use a field of mathematics known as combinatorics,

Обратимся к такому разделу математики, как комбинаторика,

which deals with the likelihoods of different combinations.

в которой рассматривается вероятность различных комбинаций.

The first step is to flip the problem.

Первый шаг — посмотреть на проблему с другой стороны.

Trying to calculate the odds of a match directly is challenging

Вычислить вероятность совпадений напрямую непросто,

because there are many ways you could get a birthday match in a group.

потому что получить совпадения дат рождения в группе можно многими способами.

Instead, it's easier to calculate the odds that everyone's birthday is different.

Легче подсчитать вероятность несовпадающих дат рождения.

How does that help?

Что это нам даст?

Either there's a birthday match in the group, or there isn't,

Неважно, есть ли одинаковые дни рождения в группе или нет,

so the odds of a match and the odds of no match

вероятность совпадений и вероятность несовпадений

must add up to 100%.

вместе должны составить 100%.

That means we can find the probability of a match

Это означает, что можно найти вероятность совпадения

by subtracting the probability of no match from 100.

путём вычитания вероятности несовпадений из 100.

To calculate the odds of no match, start small.

Начнём с более простого, посчитаем вероятность несовпадений.

Calculate the odds that just one pair of people have different birthdays.

Определим возможность, что только у одной пары человек разные дни рождения.

One day of the year will be Person A's birthday,

Один день в году — это день рождения Человека 1,

which leaves only 364 possible birthdays for Person B.

а значит, день рождения Человека 2 должен выпасть на один из оставшихся 364 дней.

The probability of different birthdays for A and B, or any pair of people,

Вероятность несовпадения в днях рождения для 1 и 2, как и для любой другой пары,

is 364 out of 365,

составляет 364 из 365,

about 0.997, or 99.7%, pretty high.

это около 0,997 или 99,7%, то есть весьма большая.

Bring in Person C.

Возьмём Человека 3.

The probability that she has a unique birthday in this small group

Вероятность, что его дата рождения в этой группе людей уникальна,

is 363 out of 365

составит 363 из 365,

because there are two birthdates already accounted for by A and B.

потому что две даты уже подсчитаны для 1 и 2.

D's odds will be 362 out of 365, and so on,

Для Человека 4 вероятность составит 362 из 365 и так далее,

all the way down to W's odds of 343 out of 365.

для Человека 23 — 343 из 365.

Multiply all of those terms together,

Сложите все эти числа,

and you'll get the probability that no one shares a birthday.

и вы получите процент вероятности несовпадений дат рождения.

This works out to 0.4927,

Она составит 0,4927, то есть вероятность того,

so there's a 49.27% chance that no one in the group of 23 people shares a birthday.

что ни у кого в группе из 23 человек даты не совпадают, — 49,27%.

When we subtract that from 100, we get a 50.73% chance

Если вычесть эту цифру из 100, получим вероятность в 50,73%,

of at least one birthday match,

что хотя бы один день рождения совпадёт,

better than even odds.

то есть даже больше, чем один к одному.

The key to such a high probability of a match in a relatively small group

Ключ к разгадке такого большого совпадения в маленькой группе в том,

is the surprisingly large number of possible pairs.

что возможное количество пар, на удивление, достаточно велико,

As a group grows, the number of possible combinations gets bigger much faster.

и по мере увеличения группы число возможных комбинаций растёт быстрее.

A group of five people has ten possible pairs.

У группы из пяти человек есть десять возможных пар.

Each of the five people can be paired with any of the other four.

Каждый из этих пяти может составить пару любому из оставшихся четырёх.

Half of those combinations are redundant

Половина из этих комбинаций избыточны,

because pairing Person A with Person B is the same as pairing B with A,

потому что пара Человек 1 и Человек 2 — то же самое, что Человек 2 и Человек 1,

so we divide by two.

поэтому делим их количество на два.

By the same reasoning,

По этой же самой причине

a group of ten people has 45 pairs,

группа из десяти человек имеет 45 пар,

and a group of 23 has 253.

а из двадцати трёх — 253 пары.

The number of pairs grows quadratically,

Количество пар находится в квадратичной зависимости,

meaning it's proportional to the square of the number of people in the group.

это означает, что оно пропорционально квадрату количества человек в группе.

Unfortunately, our brains are notoriously bad

К сожалению, наш мозг не предназначен для того,

at intuitively grasping non-linear functions.

чтобы понимать нелинейные функции интуитивно,

So it seems improbable at first that 23 people could produce 253 possible pairs.

поэтому изначально кажется невозможным, что 23 человека могут составить 253 пары.

Once our brains accept that, the birthday problem makes more sense.

Но когда наш мозг это осознáет, загадка с днями рождения прояснится.

Every one of those 253 pairs is a chance for a birthday match.

Каждая из 253 пар имеет шанс на совпадение даты рождения.

For the same reason, in a group of 70 people,

По этой же причине группа из 70 человек

there are 2,415 possible pairs,

имеет 2 415 возможных пар,

and the probability that two people have the same birthday is more than 99.9%.

и вероятность, что два человека имеют одну дату рождения, составляет более 99,9%.

The birthday problem is just one example where math can show

Загадка с датами рождения — это лишь один пример того,

как математика может объяснить вещи, кажущиеся невозможными,

that things that seem impossible,

like the same person winning the lottery twice,

как то, что один и тот же человек выигрывает в лотерею дважды,

actually aren't unlikely at all.

на самом деле вполне вероятно.

Sometimes coincidences aren't as coincidental as they seem.

Иногда совпадения не так уж случайны, как кажутся.