The satisfying math of folding origami - Evan Zodl

Переводчик: Elena McDonnell Редактор: Yulia Kallistratova

As the space telescope prepares to snap a photo,

Космический телескоп готовится сделать снимок,

the light of the nearby star blocks its view.

но вдруг свет близкой звезды перекрывает вид.

But the telescope has a trick up its sleeve:

Однако у телескопа есть кое-что на такой случай —

a massive shield to block the glare.

огромный экран для перекрытия слепящего света.

This starshade has a diameter of about 35 meters—

Этот звёздный экран диаметром 35 метров

that folds down to just under 2.5 meters,

сворачивается до размера менее 2,5 метров,

small enough to carry on the end of a rocket.

удобного для транспортировки ракетой.

Its compact design is based on an ancient art form.

В основе этой компактной конструкции лежит старинное искусство.

Origami, which literally translates to “folding paper,”

Оригами, что дословно означает «сложенная бумага», —

is a Japanese practice dating back to at least the 17th century.

это японское искусство, зародившееся в XVII веке или ранее.

In origami, the same simple concepts

В оригами одни и те же простые принципы

yield everything from a paper crane with about 20 steps,

используются как при создании бумажного журавлика в 20 этапов,

to this dragon with over 1,000 steps, to a starshade.

так и этого дракона в 1000 этапов, и даже звёздного экрана.

A single, traditionally square sheet of paper

Из одного листа бумаги, обычно квадратной формы,

can be transformed into almost any shape, purely by folding.

можно создать практически любую фигуру, просто складывая его.

Unfold that sheet, and there’s a pattern of lines,

Развернув лист, можно увидеть схему линий,

each of which represents a concave valley fold or a convex mountain fold.

каждая из которых представляет вогнутый сгиб—«долину», или выпуклый —«гору».

Origami artists arrange these folds to create crease patterns,

Мастера оригами создают схемы сгибов,

which serve as blueprints for their designs.

представляющие собой чертежи будущих конструкций.

Though most origami models are three dimensional,

Хотя большинство изделий оригами трёхмерны,

their crease patterns are usually designed to fold flat

схемы сгибов обычно позволяют складывать их горизонтально

without introducing any new creases or cutting the paper.

без необходимости сворачивать их снова или резать бумагу.

The mathematical rules behind flat-foldable crease patterns

Математические правила для плоских схем сгибов

are much simpler than those behind 3D crease patterns—

гораздо проще, чем правила для трёхмерных моделей:

it’s easier to create an abstract 2D design and then shape it into a 3D form.

легче создать абстрактную плоскую схему, а затем превратить её в трёхмерную фигуру.

There are four rules that any flat-foldable crease pattern must obey.

Существует четыре правила для всех плоских схем сгибов.

First, the crease pattern must be two-colorable—

Во-первых, схема должна быть раскрашиваемой в два цвета,

meaning the areas between creases can be filled with two colors

то есть участки между сгибами можно окрасить двумя цветами так,

so that areas of the same color never touch.

чтобы участки одного цвета не соприкасались.

Add another crease here,

Если добавить здесь ещё один сгиб,

and the crease pattern no longer displays two-colorability.

схема уже не будет удовлетворять этому правилу.

Second, the number of mountain and valley folds

Во-вторых, количество «гор» и «долин»

at any interior vertex must differ by exactly two—

в каждой внутренней вершине должно различаться на два,

like the three valley folds and one mountain fold that meet here.

как, например, три «долины» и одна «гора» здесь.

Here’s a closer look at what happens when we make the folds at this vertex.

Давайте более внимательно рассмотрим сгибы в этой вершине.

If we add a mountain fold at this vertex, there are three valleys and two mountains.

Если мы добавим здесь «гору», то получим три «долины» и две «горы».

If it’s a valley, there are four valleys and one mountain.

А если добавить «долину», то будет четыре «долины» и одна «гора».

Either way, the model doesn't fall flat.

В любом случае модель не будет плоской.

The third rule is that if we number all the angles

Третье правило: если пронумеровать все углы

at an interior vertex moving clockwise or counterclockwise,

внутренней вершины по часовой стрелке или против неё,

the even-numbered angles must add up to 180 degrees,

сумма чётных углов должна составлять 180 градусов.

as must the odd-numbered angles.

То же верно для всех нечётных углов.

Looking closer at the folds, we can see why.

Если взглянуть внимательней, то причина станет ясна.

If we add a crease and number the new angles at this vertex,

Если мы добавим сгиб и пронумеруем новые углы в этой вершине,

the even and odd angles no longer add up to 180 degrees,

сумма чётных и нечётных углов больше не составит 180 градусов

and the model doesn’t fold flat.

и модель не будет плоской.

Finally, a layer cannot penetrate a fold.

И наконец, слой бумаги не может проходить через сгиб.

A 2D, flat-foldable base is often an abstract representation

Двухмерная, плоская основа зачастую является абстрактным воплощением

of a final 3D shape.

конечной трёхмерной фигуры.

Understanding the relationship between crease patterns, 2D bases,

Понимание связи между схемами сгибов, двухмерными основами

and the final 3D form allows origami artists

и конечными трёхмерными фигурами позволяет мастерам оригами

to design incredibly complex shapes.

создавать чрезвычайно сложные формы.

Take this crease pattern by origami artist Robert J. Lang.

Взгляните на эту схему сгибов, разработанную Робертом Дж. Лэнгом.

The crease pattern allocates areas for a creature's legs,

На этой схеме определённые части отведены под ноги животного,

tail, and other appendages.

хвост и другие части тела.

When we fold the crease pattern into this flat base,

Если свернуть эту схему сгибов в плоскую основу,

each of these allocated areas becomes a separate flap.

каждая из этих частей становится отдельным отворотом.

By narrowing, bending, and sculpting these flaps,

Сужая, изгибая эти отвороты и придавая им форму,

the 2D base becomes a 3D scorpion.

мастер создаёт из двухмерной основы трёхмерного скорпиона.

Now, what if we wanted to fold 7 of these flowers from the same sheet of paper?

А что, если мы захотим свернуть семь таких цветов из одного листа бумаги?

If we can duplicate the flower’s crease pattern

Если мы сможем повторить схему сгибов

and connect each of them in such a way that all four laws are satisfied,

и соединить их таким образом, чтобы все четыре правила были соблюдены,

we can create a tessellation, or a repeating pattern of shapes

то создадим мозаику, или повторяющуюся схему,

that covers a plane without any gaps or overlaps.

покрывающую поверхность без зазоров или наложений.

The ability to fold a large surface into a compact shape

Способность свернуть большую поверхность в компактную фигуру

has applications from the vastness of space

является ценной как на бескрайних просторах Вселенной,

to the microscopic world of our cells.

так и в микроскопическом мире клеток.

Using principles of origami,

Используя принципы оригами,

medical engineers have re-imagined the traditional stent graft,

медицинские инженеры разработали совершенно новые стент-графты —

a tube used to open and support damaged blood vessels.

трубки для коррекции просвета кровяных сосудов.

Through tessellation, the rigid tubular structure folds into a compact sheet

Благодаря мозаичной структуре, жёсткая конструкция трубки сворачивается

about half its expanded size.

в компактное полотно, сжимаясь в два раза.

Origami principles have been used in airbags, solar arrays,

Принципы оригами используются в подушках безопасности, солнечных батареях,

self-folding robots, and even DNA nanostructures—

самосворачивающихся роботах и даже в нанотехнологиях на основе ДНК —

who knows what possibilities will unfold next.

кто знает, как всё сложится дальше?