The satisfying math of folding origami - Evan Zodl

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Naama Lieberman

As the space telescope prepares to snap a photo,

כשטלסקופ החלל מתכונן לצלם תמונה,

the light of the nearby star blocks its view.

האור של כוכב קרוב חוסם את שדה הראיה שלו.

But the telescope has a trick up its sleeve:

אבל לטלסקופ יש טריק:

a massive shield to block the glare.

מגן מסיבי שחוסם את הבוהק.

This starshade has a diameter of about 35 meters—

הקוטר של מצל הכוכבים הוא בערך 35 מטר --

that folds down to just under 2.5 meters,

והוא מתקפל לקצת פחות מ-2.5 מטר,

small enough to carry on the end of a rocket.

קטן מספיק לשאת בקצה של טיל.

Its compact design is based on an ancient art form.

העיצוב הקומפקטי שלו מבוסס על צורת אמנות עתיקה.

Origami, which literally translates to “folding paper,”

אוריגמי, בתרגום מילולי “קיפול נייר”,

is a Japanese practice dating back to at least the 17th century.

הוא מנהג יפני שהחל לפחות במאה ה-17.

In origami, the same simple concepts

באוריגמי, אותם רעיונות בסיסיים

yield everything from a paper crane with about 20 steps,

מייצרים הכול מעגור נייר ב-20 שלבים,

to this dragon with over 1,000 steps, to a starshade.

לדרקון ביותר מ-1,000 שלבים, למצל כוכבים.

A single, traditionally square sheet of paper

דף נייר בודד, מרובע באופן מסורתי

can be transformed into almost any shape, purely by folding.

יכול להפוך לכמעט כל צורה, רק על ידי קיפול.

Unfold that sheet, and there’s a pattern of lines,

פתחו את הקפלים, ויש תבנית של קווים,

each of which represents a concave valley fold or a convex mountain fold.

כל אחד מייצג קפל עמק קעור או קפל הר קמור.

Origami artists arrange these folds to create crease patterns,

אמני אוריגמי מארגנים את הקפלים האלה כדי ליצור תבניות קמטים,

which serve as blueprints for their designs.

שמשמשים כתבנית לעיצובים שלהם.

Though most origami models are three dimensional,

למרות שרוב דגמי האוריגמי הם תלת ממדיים,

their crease patterns are usually designed to fold flat

תבניות הקיפול שלהם בדרך כלל מתוכננות להתקפל לצורה שטוחה

without introducing any new creases or cutting the paper.

בלי קפלים חדשים ובלי לחתוך את הנייר.

The mathematical rules behind flat-foldable crease patterns

החוקים המתמטיים שמאחורי תבניות קיפול לצורה שטוחה

are much simpler than those behind 3D crease patterns—

הרבה יותר פשוטות מאלו שמאחורי תבניות קיפול תלת ממדיות --

it’s easier to create an abstract 2D design and then shape it into a 3D form.

קל יותר ליצור עיצוב מופשט דו ממדי ואז לעצב אותו לצורה תלת ממדית.

There are four rules that any flat-foldable crease pattern must obey.

יש ארבעה כללים שכל תבנית קפל שטוח צריכה לעמוד בהם.

First, the crease pattern must be two-colorable—

ראשית, תבנית הקפלים חייבת להיות ניתנת לצביעה בשני צבעים --

meaning the areas between creases can be filled with two colors

כלומר, את האזורים שבין הקפלים אפשר למלא בשני צבעים

so that areas of the same color never touch.

כך שאזורים באותו צבע לעולם לא נוגעים.

Add another crease here,

הוסיפו עוד קפל פה,

and the crease pattern no longer displays two-colorability.

ותבנית הקפלים כבר לא ניתנת לצביעה בשני צבעים.

Second, the number of mountain and valley folds

שנית, מספר קפלי ההרים והעמקים

at any interior vertex must differ by exactly two—

בכל קודקוד פנימי חייבת להיות שונה בדיוק ב-2 --

like the three valley folds and one mountain fold that meet here.

כמו שלושת קפלי העמק וכפל ההר היחיד שנפגשים פה.

Here’s a closer look at what happens when we make the folds at this vertex.

הנה מבט קרוב יותר במה שקורה כשאנחנו עושים את הקפלים בקודקוד הזה.

If we add a mountain fold at this vertex, there are three valleys and two mountains.

אם נוסיף קפל הר בקודקוד הזה, יהיו שלושה עמקים ושני הרים.

If it’s a valley, there are four valleys and one mountain.

אם זה עמק, יש ארבעה עמקים והר אחד.

Either way, the model doesn't fall flat.

בכל מקרה, המודל לא מתקפל שטוח.

The third rule is that if we number all the angles

הכלל השלישי הוא שאם נמספר את כל הזוויות

at an interior vertex moving clockwise or counterclockwise,

מקודקוד פנימי עם כיוון השעון או נגדו,

the even-numbered angles must add up to 180 degrees,

סכום הזוויות הזוגיות חייב להיות 180 מעלות,

as must the odd-numbered angles.

כמו גם סכום הזויות האי-זוגיות.

Looking closer at the folds, we can see why.

אם נביט קרוב יותר בקפלים, נוכל לראות למה.

If we add a crease and number the new angles at this vertex,

אם נוסיף קפל ונמספר את הזוויות החדשות בקודקוד הזה,

the even and odd angles no longer add up to 180 degrees,

סכום הזוויות הזוגיות והאי-זוגיות כבר לא יהיה 180 מעלות,

and the model doesn’t fold flat.

והמודל לא יהיה שטוח.

Finally, a layer cannot penetrate a fold.

לבסוף, שכבה לא יכולה לחדור לקפל.

A 2D, flat-foldable base is often an abstract representation

בסיס דו-ממדי מקופל שטוח הוא הרבה פעמים ייצוג מופשט

of a final 3D shape.

של הצורה התלת-ממדית הסופית.

Understanding the relationship between crease patterns, 2D bases,

הבנת הקשר בין תבניות קפלים, בסיסים דו-ממדיים,

and the final 3D form allows origami artists

והצורה התלת-ממדית הסופית מאפשרת לאמני אוריגמי

to design incredibly complex shapes.

לתכנן צורות מורכבות להפליא.

Take this crease pattern by origami artist Robert J. Lang.

קחו לדוגמה את תבנית הקיפול הזו של אמן האוריגמי רוברט ג’יי לאנג.

The crease pattern allocates areas for a creature's legs,

תבנית הקיפול מקצה אזורים לרגלי היצור,

tail, and other appendages.

הזנב, ואיברים אחרים.

When we fold the crease pattern into this flat base,

כשאנחנו מקפלים את תבנית הקפלים לבסיס השטוח הזה,

each of these allocated areas becomes a separate flap.

כל אחד מהאזורים המיועדים האלה הופך לחלק נפרד.

By narrowing, bending, and sculpting these flaps,

על ידי צמצום, קיפול ופיסול החלקים האלה,

the 2D base becomes a 3D scorpion.

הבסיס הדו-ממדי הופך לעקרב תלת-ממדי.

Now, what if we wanted to fold 7 of these flowers from the same sheet of paper?

עכשיו, מה אם נרצה לקפל 7 פרחים כאלה מאותו דף נייר?

If we can duplicate the flower’s crease pattern

אם נוכל לשכפל את תבנית הקיפול של הפרחים

and connect each of them in such a way that all four laws are satisfied,

ולחבר אותם בדרך שבה כל ארבעת החוקים ימולאו,

we can create a tessellation, or a repeating pattern of shapes

נוכל ליצור ריצוף, או תבנית חוזרת של צורות

that covers a plane without any gaps or overlaps.

שמכסה מישור בלי רווחים או חפיפה.

The ability to fold a large surface into a compact shape

ליכולת לקפל משטח גדול לצורה קומפקטית

has applications from the vastness of space

יש יישומים ממרחבי החלל

to the microscopic world of our cells.

לעולם המיקרוסקופי של התאים שלנו.

Using principles of origami,

בעזרת העקרונות של אוריגמי,

medical engineers have re-imagined the traditional stent graft,

מהנדסים רפואיים דמיינו מחדש את התומכנים המסורתיים,

a tube used to open and support damaged blood vessels.

צינור שפותח כלי דם פגועים ותומך בהם.

Through tessellation, the rigid tubular structure folds into a compact sheet

דרך ריצוף, המבנה הצינורי הקשיח מתקפל למשטח קומפקטי

about half its expanded size.

בערך חצי מהגודל הפתוח שלו.

Origami principles have been used in airbags, solar arrays,

עקרונות אוריגמי היו בשימוש בכריות אוויר, מערכים סולריים,

self-folding robots, and even DNA nanostructures—

רובוטים מתקפלים עצמאית, ואפילו ננו מבנים של DNA --

who knows what possibilities will unfold next.

מי יודע איזה אפשרויות יחשפו בהמשך.