The satisfying math of folding origami - Evan Zodl

翻訳: Yasushi Aoki 校正: Tomoyuki Suzuki

As the space telescope prepares to snap a photo,

宇宙望遠鏡が写真を撮ろうとすると

the light of the nearby star blocks its view.

近くの恒星の光が邪魔になりますが

But the telescope has a trick up its sleeve:

この望遠鏡には特別な仕掛けがあります

a massive shield to block the glare.

グレアを抑える巨大な遮光板です

This starshade has a diameter of about 35 meters—

この「スターシェード」は 直径が約35mありますが

that folds down to just under 2.5 meters,

2.5m以下の大きさに折り畳め

small enough to carry on the end of a rocket.

ロケットにつけて 運ぶことができます

Its compact design is based on an ancient art form.

この小型化技術には 古くからある遊戯の技が生かされています

Origami, which literally translates to “folding paper,”

「折り紙」は文字通り 「紙を折る」という意味で

is a Japanese practice dating back to at least the 17th century.

17世紀以前から日本に伝わる 文化です

In origami, the same simple concepts

同じシンプルな折り紙の手法で 生み出せるものには

yield everything from a paper crane with about 20 steps,

20手順ほどの 折り鶴もあれば

to this dragon with over 1,000 steps, to a starshade.

千以上の手順を要するこんな竜や スターシェイドもあります

A single, traditionally square sheet of paper

通常 １枚の正方形の紙を使い

can be transformed into almost any shape, purely by folding.

折るだけで ほぼ あらゆる形を作り出せます

Unfold that sheet, and there’s a pattern of lines,

広げた紙には 線の模様ができ

each of which represents a concave valley fold or a convex mountain fold.

それぞれ谷折りか 山折りになっています

Origami artists arrange these folds to create crease patterns,

折り紙作家は 山折り・谷折りを配置して 折り目のパターンを作り

which serve as blueprints for their designs.

それが折り紙の 設計図になります

Though most origami models are three dimensional,

折り紙の多くは 三次元的ですが

their crease patterns are usually designed to fold flat

通常 切れ目や折り目を加えることなく 平面的に折り畳めるよう

without introducing any new creases or cutting the paper.

折り目のパターンが 構成されています

The mathematical rules behind flat-foldable crease patterns

平面的に折り畳めるものでは そうでないものに比べ

are much simpler than those behind 3D crease patterns—

折り目のパターンに シンプルな数学的規則があるため

三次元的な形状を作るのに 抽象的な二次元的造形を元にした方が簡単なのです

it’s easier to create an abstract 2D design and then shape it into a 3D form.

There are four rules that any flat-foldable crease pattern must obey.

平面的に折り畳める折り目のパターンが満たす ４つの規則があります

First, the crease pattern must be two-colorable—

第１に折り目のパターンが ２色で塗り分けられること

meaning the areas between creases can be filled with two colors

つまり 折り目の間の領域を ２色で塗って

so that areas of the same color never touch.

隣り合う領域が同じ色にならないように できるということです

Add another crease here,

こんな風に折り目を加えると

and the crease pattern no longer displays two-colorability.

２色では塗り分けられなくなります

Second, the number of mountain and valley folds

第２に 内部の頂点につながる 山折りの数と谷折りの数の差は

at any interior vertex must differ by exactly two—

常に２であること

like the three valley folds and one mountain fold that meet here.

例えばこの頂点では ３つの谷折りと １つの山折りが交わっています

Here’s a closer look at what happens when we make the folds at this vertex.

この頂点で折り畳むと こうなります

If we add a mountain fold at this vertex, there are three valleys and two mountains.

こんな風に山折りを加えたなら ３つの谷折りと２つの山折になり

If it’s a valley, there are four valleys and one mountain.

谷折りを加えたなら ４つの谷折りと１つの山折りになり

Either way, the model doesn't fall flat.

いずれの場合も 平面的に折り畳めなくなります

The third rule is that if we number all the angles

第３の規則は 内側の頂点において

at an interior vertex moving clockwise or counterclockwise,

時計回りか反時計回りで 角度に番号を振ったとき

the even-numbered angles must add up to 180 degrees,

奇数番の角度の和は 180度になり

as must the odd-numbered angles.

偶数番の角度の和も 180度になること

Looking closer at the folds, we can see why.

この折り目を見れば なぜかわかります

If we add a crease and number the new angles at this vertex,

このように折り目を加えて 番号を振り直すと

the even and odd angles no longer add up to 180 degrees,

奇数番の角度の和も 偶数番の角度の和も 180度にならず

and the model doesn’t fold flat.

平面的には折り畳めなくなります

Finally, a layer cannot penetrate a fold.

規則の４番目は １つの層が 別の折り目を突き抜けないこと

A 2D, flat-foldable base is often an abstract representation

二次元的に折り畳まれた基本形は

三次元的な最終形の 抽象表現になっています

of a final 3D shape.

Understanding the relationship between crease patterns, 2D bases,

折り目のパターンと 二次元的な基本形と 三次元的な最終形の関係を理解することで

and the final 3D form allows origami artists

折り紙作家は非常に複雑な形を デザインすることができます

to design incredibly complex shapes.

折り紙作家は 非常に複雑な形を デザインすることができます

Take this crease pattern by origami artist Robert J. Lang.

折り紙作家ロバート・Ｊ・ラングによる この折り目パターンには

The crease pattern allocates areas for a creature's legs,

動物の脚になる部分 尻尾になる部分

tail, and other appendages.

その他の部分があり

When we fold the crease pattern into this flat base,

平面的な基本形に 折り畳んだとき

each of these allocated areas becomes a separate flap.

それぞれの部分は 別々のひだになり

By narrowing, bending, and sculpting these flaps,

そのひだを細くし 折り曲げ 形を付けると

the 2D base becomes a 3D scorpion.

二次元的な基本形から 三次元的なサソリへと変貌します

Now, what if we wanted to fold 7 of these flowers from the same sheet of paper?

この７つの花を １枚の紙で折りたいとしたら？

If we can duplicate the flower’s crease pattern

１つの花の折り目のパターンを 複製して

and connect each of them in such a way that all four laws are satisfied,

４つの規則を満たす形で つなぎ合わせられたなら

we can create a tessellation, or a repeating pattern of shapes

繰り返す形のパターンによって 隙間や重なりなしに平面を埋めた

that covers a plane without any gaps or overlaps.

テセレーションを作り出せます

The ability to fold a large surface into a compact shape

折ることで大きな面を 小さな形状へと変えることには

has applications from the vastness of space

広大な宇宙から 小さな細胞の世界まで

to the microscopic world of our cells.

様々な応用があります

Using principles of origami,

折り紙の手法によって 医療技術者は

medical engineers have re-imagined the traditional stent graft,

傷んだ血管を広げ支える管 ステントグラフトに

a tube used to open and support damaged blood vessels.

革新をもたらしています

Through tessellation, the rigid tubular structure folds into a compact sheet

テセレーションを用いることで しっかりした管状構造が

半分ほどの大きさの板へと 折り畳まれるのです

about half its expanded size.

Origami principles have been used in airbags, solar arrays,

折り紙の手法は エアバッグや ソーラーアレイ

self-folding robots, and even DNA nanostructures—

自己折り畳みロボットから DNAナノ構造にまで活用されており

who knows what possibilities will unfold next.

いったいどんな可能性が 今後展開されていくことでしょう