What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

ما هي متناقضة زينون للانقسام؟ - كولم كيليهر

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

المترجم: khalid marbou المدقّق: Lalla Khadija Tigha

This is Zeno of Elea,

هذا هو زينون من إيليا،

an ancient Greek philosopher

الفيلسوف الإغريقي القديم

famous for inventing a number of paradoxes,

المشهور باختراعه لعدد من المتناقضات،

arguments that seem logical,

لبراهين كانت تبدو منطقية،

but whose conclusion is absurd or contradictory.

لكن استنتاجاته كانت سخيفة أو متناقضة.

For more than 2,000 years,

لأزيد من 2000 سنة،

Zeno's mind-bending riddles have inspired

ألهمت ألغاز زينون المحيرة

mathematicians and philosophers

الرياضياتيين والفلاسفة

to better understand the nature of infinity.

لفهم الطبيعة اللانهاية بشكل أفضل.

One of the best known of Zeno's problems

والتي تعني، "متناقضة التقسيم إلى اثنين" <br/>في اليونان القديمة.

is called the dichotomy paradox,

أحد أشهر مسائل زينون

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

تدعى متناقضة الانقسام،

It goes something like this:

وهي كالتالي:

After a long day of sitting around, thinking,

بعد يوم طويل من الجلوس والتفكير

Zeno decides to walk from his house to the park.

قرر زينون أن يسير من بيته إلى الحديقة.

The fresh air clears his mind

يصفي الهواء النقي ذهنه

and help him think better.

ويساعده على التفكير بشكل أفضل.

In order to get to the park,

ومن أجل الوصول إلى الحديقة،

he first has to get half way to the park.

عليه أولا أن يقطع نصف الطريق إلى الحديقة.

This portion of his journey

هذا الجزء من رحلته

takes some finite amount of time.

يستغرق وقتا محددا.

Once he gets to the halfway point,

بمجرد وصوله إلى نقطة المنتصف،

he needs to walk half the remaining distance.

سيتعين عليه المشي لنفس المسافة المتبقية.

Again, this takes a finite amount of time.

وهذا، مجددا، يستغرق وقتا معينا.

Once he gets there, he still needs to walk

وبمجرد وصوله هناك، سيتعين عليه المشي

half the distance that's left,

لنصف المسافة المتبقية،

which takes another finite amount of time.

وهو ما سيستغرقه قدرا معينا آخر من الوقت.

This happens again and again and again.

وهذا يحصل مرارا وتكرارا.

You can see that we can keep going like this forever,

وسترون أنه بإمكاننا أن نستمر <br/>في الأمر إلى ما لا نهاية،

dividing whatever distance is left

مقسمين أي مسافة متبقية

into smaller and smaller pieces,

إلى قطع أصغر فأصغر،

each of which takes some finite time to traverse.

كل منها تستغرق وقتا محددا لقطعها.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

إذن، فكم سيستغرقه زينون للوصول للحديقة؟

Well, to find out, you need to add the times

حسنا، للحصول على النتيجة، <br/>سيتعين عليك جمع المدد الزمنية

of each of the pieces of the journey.

لكل جزء من أجزاء رحلته.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

والمشكل هو أنه هناك ما لا نهاية له <br/>من هذه الأجزاء المتناهية.

So, shouldn't the total time be infinity?

إذن، ألا يجدر بالوقت الإجمالي أن يكون لا متناهيا؟

This argument, by the way, is completely general.

هذا البرهان، بالمناسبة، عام تماما.

It says that traveling from any location to any other location

يقول بأن الانتقال من مكان لآخر

should take an infinite amount of time.

يجب أن يستغرق وقتا لا متنهايا.

In other words, it says that all motion is impossible.

بعبارة أخرى، يقول بأن <br/>كل أنواع الحركة مستحيلة.

This conclusion is clearly absurd,

فالنتيجة بشكل واضح غير معقولة،

but where is the flaw in the logic?

فأين يكمن الخلل في هذا المنطق؟

To resolve the paradox,

لحل هذه المتناقضة،

it helps to turn the story into a math problem.

سيكون من المجدي أن نحول القصة <br/>إلى مسألة رياضيات.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

فلنفترض أن منزل زينون يبعد <br/>بمسافة ميل عن الحديقة

and that Zeno walks at one mile per hour.

وأن زينون يمشي بسرعة ميل في الساعة.

Common sense tells us that the time for the journey

الفطرة السليمة تخبرنا بأن مدة الرحلة

should be one hour.

يجب أن تكون ساعة.

But, let's look at things from Zeno's point of view

لكن، دعنا نأخذ الأمور من منظور زينون

and divide up the journey into pieces.

ونقسم الرحلة إلى أجزاء.

The first half of the journey takes half an hour,

النصف الأول من الرحلة <br/>سيستغرق نصف ساعة،

the next part takes quarter of an hour,

والجزء الموالي سيستغرق ربع ساعة،

the third part takes an eighth of an hour,

والثالث سيستغرق ثمن ساعة،

and so on.

Summing up all these times,

وهكذا دواليك.

بجمع كل هذه المدد،

we get a series that looks like this.

نحصل على متتالية تبدو هكذا.

"Now", Zeno might say,

وقد يقول زينون، "الآن،

"since there are infinitely many of terms

بما أنه هناك عدد لا نهائي من الأطراف

on the right side of the equation,

في الجهة اليمنى من المعادلة،

and each individual term is finite,

وكل طرف منها محدد،

the sum should equal infinity, right?"

فإن المجموع يجب أن يساوي <br/>اللانهاية، صحيح؟"

This is the problem with Zeno's argument.

وهذا هو مكمن الخلل في حِجاج زينون.

As mathematicians have since realized,

وكما قد أدرك الرياضياتيون لاحقا،

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

فإنه من الممكن جمع عدد لا نهائي <br/>من الأطراف محددة القدر

and still get a finite answer.

والحصول في النهاية على جواب محدد القدر.

"How?" you ask.

قد تتساءل "كيف ذلك؟"

Well, let's think of it this way.

حسنا، دعنا نفكر في الأمر بهذه الطريقة.

Let's start with a square that has area of one meter.

دعونا نبدأ بمربع مساحته متر.

Now let's chop the square in half,

الآن، دعونا نقسمه للنصف،

and then chop the remaining half in half,

ثم نقسم ما تبقى للنصف،

and so on.

وهكذا دواليك.

While we're doing this,

ونحن نقوم بهذا،

let's keep track of the areas of the pieces.

فلنتتبع كل مساحات القطع.

The first slice makes two parts,

التقطيع الأولى ينتج قطعتين،

each with an area of one-half

كل منها بمساحة النصف

The next slice divides one of those halves in half,

والتقطيعة الموالية تقسم أحد النصفين إلى النصف،

and so on.

وهكذا.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

لكن، مهما كان عدد المرات <br/>التي قسمنا إليها المربعات،

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

فإن المساحة الإجمالية لا تزال <br/>هي مجموع مساحات كل القطع.

Now you can see why we choose this particular way

يمكنكم الآن أن تروا سبب اختيارنا لهذه الطريقة

of cutting up the square.

لتقسيم مربع.

We've obtained the same infinite series

حصلنا عى نفس المتتالية اللامتناهية

as we had for the time of Zeno's journey.

كما في مدة رحلة زينون.

As we construct more and more blue pieces,

ونحن نشكل المزيد والمزيد <br/>من هذه القطع الزرقاء،

to use the math jargon,

وباستخدام المصطلحات الرياضياتية،

as we take the limit as n tends to infinity,

ونحن نأخذ النهاية باقتراب n من اللانهاية،

the entire square becomes covered with blue.

يصبح المربع بأكمله مغطى بالأزرق,

But the area of the square is just one unit,

لكن مساحة المربع هي وحدة واحدة فقط،

and so the infinite sum must equal one.

وهكذا، فإن المجموع اللانهائي، <br/>يجب أن يساوي واحدا.

Going back to Zeno's journey,

وبالعودة إلى رحلة زينون،

we can now see how how the paradox is resolved.

نستطيع أن نرى كيف يمكن حل المتناقضة.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

ليس فقط أن المتتالية اللامتناهية لها مجموع مقدّر،

but that finite answer is the same one

لكن كذلك أن ذلك الجواب هو نفس

that common sense tells us is true.

ما تقول الفطرة السليمة أنه صحيح.

Zeno's journey takes one hour.

تستغرق رحلة زينون ساعة واحدة.