What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Çeviri: Gülce Dilay Erdem Gözden geçirme: Suleyman Cengiz

This is Zeno of Elea,

Bu Elealı Zeno,

an ancient Greek philosopher

kurduğu argümanları mantıklı

famous for inventing a number of paradoxes,

ama sonuçları absürd veya çelişkili olan

arguments that seem logical,

çeşitli paradokslarıyla ünlü

but whose conclusion is absurd or contradictory.

bir Antik Yunan filozofu.

For more than 2,000 years,

2000 yılı aşkın bir süredir

Zeno's mind-bending riddles have inspired

Zeno'nun akıl çelici bilmeceleri,

mathematicians and philosophers

matematikçilere ve filozoflara

to better understand the nature of infinity.

sonsuzluğu daha iyi anlama konusunda ilham vermiştir.

One of the best known of Zeno's problems

Zeno'nun en bilinen problemlerinden biri,

is called the dichotomy paradox,

Antik Yunancada "ikiye ayırma paradoksu"

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

anlamına gelen dikotomi paradoksudur.

It goes something like this:

Şöyle bir paradokstur:

After a long day of sitting around, thinking,

Tüm gün boyunca oturup düşündükten sonra

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zeno evinden parka yürümeye karar verir.

The fresh air clears his mind

Temiz hava aklını ferahlatır

and help him think better.

ve daha iyi düşünmesini sağlar.

In order to get to the park,

Parka varabilmek için

he first has to get half way to the park.

önce yolun yarısını yürümesi gerekmektedir.

This portion of his journey

Yolculuğunun bu kısmı

takes some finite amount of time.

belirli bir süre alır.

Once he gets to the halfway point,

Orta noktaya geldiği zaman,

he needs to walk half the remaining distance.

kalan uzaklığın yarısını yürümesi gerekmektedir.

Again, this takes a finite amount of time.

Aynı şekilde bu da belirli bir zaman alır.

Once he gets there, he still needs to walk

İkinci noktaya vardığında hala

half the distance that's left,

kalan mesafenin yarısını yürümelidir,

which takes another finite amount of time.

bu da aynı şekilde belirli bir zaman alır.

This happens again and again and again.

Bu tekrar ve tekrar gerçekleşir.

You can see that we can keep going like this forever,

Gördüğünüz gibi, her bir geçişi belirli

dividing whatever distance is left

bir süre alan mesafeleri giderek,

into smaller and smaller pieces,

daha küçük parçalara bölerek

each of which takes some finite time to traverse.

bunu sonsuza kadar yapabiliriz.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Öyleyse Zeno'nun parka varması ne kadar sürer?

Well, to find out, you need to add the times

Bunu anlamak için yolculuğun her parçasının

of each of the pieces of the journey.

aldığı zamanı toplamalısınız.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Buradaki problem, bu küçük parçalardan sonsuz tane olması.

So, shouldn't the total time be infinity?

Dolayısıyla toplam zaman sonsuz olmalı, değil mi?

This argument, by the way, is completely general.

Bu arada, buradaki argüman tamamen genel.

It says that traveling from any location to any other location

Paradoksa göre herhangi bir lokasyondan

should take an infinite amount of time.

bir diğerine gitmek sonsuz zaman almalı.

In other words, it says that all motion is impossible.

Başka bir deyişle, her hareket imkansızdır.

This conclusion is clearly absurd,

Bu sonuç bariz bir şekilde absürt,

but where is the flaw in the logic?

ama mantığındaki kusur nerede?

To resolve the paradox,

Paradoksu çözmek için

it helps to turn the story into a math problem.

hikayeyi matematik sorusuna çevirmek yardımcı olabilir.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Zeno'nun evinin parktan bir kilometre uzakta olduğunu

and that Zeno walks at one mile per hour.

ve Zeno'nun saatte bir kilometre yürüdüğünü farz edelim.

Common sense tells us that the time for the journey

Genel bilgimize göre bu yolculuk

should be one hour.

bir saat kadar sürmeli.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Hadi olaya bir de Zeno'nun bakış açısından bakalım

and divide up the journey into pieces.

ve yolu parçalara bölelim.

The first half of the journey takes half an hour,

Yolculuğun ilk yarısı yarım saat alır,

the next part takes quarter of an hour,

ikinci kısmı 15 dakika sürer,

the third part takes an eighth of an hour,

üçüncü kısmı ise bir saatin 1/8'i kadar

and so on.

Summing up all these times,

ve bu böyle gider.

Tüm bu süreleri toplayınca

we get a series that looks like this.

buna benzer bir düzen elde ederiz.

"Now", Zeno might say,

Zeno şöyle diyebilirdi:

"since there are infinitely many of terms

"Şimdi, sağ tarafta elemanlardan sonsuz tane

on the right side of the equation,

olduğundan ve her eleman

and each individual term is finite,

sonlu olduğundan,

the sum should equal infinity, right?"

toplam sonsuza eşit olmalı, değil mi?"

This is the problem with Zeno's argument.

Zeno'nun argümanındaki sıkıntı işte burada.

As mathematicians have since realized,

Matematikçilerin de artık bildiği gibi,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

sonsuz tane sonlu elemanı toplayıp

and still get a finite answer.

sonlu bir cevap elde etmek mümkün.

"How?" you ask.

Nasıl mı?

Well, let's think of it this way.

Şöyle düşünelim:

Let's start with a square that has area of one meter.

Bir metrekarelik alanı olan bir kareyle başlayalım.

Now let's chop the square in half,

Şimdi kareyi ortadan ikiye bölelim,

and then chop the remaining half in half,

sonra da kalan yarıyı ikiye bölelim

and so on.

ve böyle devam edelim.

While we're doing this,

Bunu yaparken de

let's keep track of the areas of the pieces.

parçaların alanlarını gözlemleyelim.

The first slice makes two parts,

İlk bölme iki parça oluşturur,

each with an area of one-half

iki parçanın da alanı yarımdır.

The next slice divides one of those halves in half,

İkinci bölüş de bu yarımlardan birini yarıya böler

and so on.

ve bu düzen devam eder.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Ama kutuları ne kadar bölersek bölelim,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

toplam alan hala tüm parçaların alanlarının toplamıdır.

Now you can see why we choose this particular way

Şimdi neden kareyi kesmek için bu yöntemi

of cutting up the square.

seçtiğimizi anlayabilirsiniz.

We've obtained the same infinite series

Zeno'nun yolculuğundaki zamanda

as we had for the time of Zeno's journey.

elde ettiğimiz sonsuz diziyi elde ettik.

As we construct more and more blue pieces,

Gittikçe daha fazla mavi parça oluştururken

to use the math jargon,

matematik jargonunu kullanırsak

as we take the limit as n tends to infinity,

ve n sonsuza giderken limitini alırsak

the entire square becomes covered with blue.

bütün kare maviyle kaplanır.

But the area of the square is just one unit,

Ama karenin alanı sadece 1 birimdir,

and so the infinite sum must equal one.

bü yüzden de sonsuz toplam 1'e eşit olmalıdır.

Going back to Zeno's journey,

Zeno'nun yolculuğuna dönersek

we can now see how how the paradox is resolved.

paradoksun nasıl çözüldüğünü şimdi anlayabiliriz.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Sonsuz serinin toplamı yalnızca sonlu bir cevap vermekle kalmıyor,

but that finite answer is the same one

o sonlu cevap aynı zamanda

that common sense tells us is true.

sağduyumuzun bize doğru olduğunu söylediği cevap.

Zeno's journey takes one hour.

Zeno'nun yolcuğulu bir saat sürüyor.