What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Paradoxul dihotomiei lui Zeno - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Traducător: Cristina Nicolae Corector: Ariana Bleau Lugo

This is Zeno of Elea,

Acesta e Zeno din Elea,

an ancient Greek philosopher

un filosof din Grecia antică

famous for inventing a number of paradoxes,

renumit pentru inventarea unui număr de paradoxuri.

arguments that seem logical,

argumente care par logice,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

dar a căror concluzie e absurdă sau contradictorie.

For more than 2,000 years,

Timp de mai mult de 2.000 de ani,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

ghicitorile lui Zeno au inspirat

mathematicians and philosophers

matematicieni și filosofi

to better understand the nature of infinity.

pentru a înțelege mai bine infinitul.

One of the best known of Zeno's problems

Una dintre cele mai cunoscute probleme ale lui Zeno

is called the dichotomy paradox,

se numește paradoxul dihotomiei,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

ceea ce în greaca veche înseamnă „paradoxul tăierii în două”.

It goes something like this:

Sună cam așa:

After a long day of sitting around, thinking,

După ce a petrecut mult timp gândindu-se,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zeno se hotărăște să se plimbe de acasă până în parc.

The fresh air clears his mind

Aerul proaspăt îi limpezește gândurile

and help him think better.

și îl ajută să gândească mai bine.

In order to get to the park,

Pentru a ajunge în parc,

he first has to get half way to the park.

trebuie să străbată jumătate de distanță.

This portion of his journey

takes some finite amount of time.

Această parte a plimbării

îi ia o perioadă finită de timp.

Once he gets to the halfway point,

Odată ajuns la jumătatea traseului,

he needs to walk half the remaining distance.

trebuie să mai parcurgă jumătatea rămasă.

Again, this takes a finite amount of time.

Îi ia, din nou, un timp anume.

Once he gets there, he still needs to walk

Odată ajuns acolo, mai trebuie să parcurgă

half the distance that's left,

jumătate din distanța rămasă,

which takes another finite amount of time.

ceea ce îi ia din nou o vreme.

This happens again and again and again.

Asta se întâmplă iar și iar și iar.

You can see that we can keep going like this forever,

Vedeți că am putea continua așa la nesfârșit,

dividing whatever distance is left

împărțind orice distanță rămasă

into smaller and smaller pieces,

în părți tot mai mici,

each of which takes some finite time to traverse.

fiecare necesitând un anumit timp pentru a fi parcursă.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Deci cât timp îi ia lui Zeno să ajungă în parc?

Well, to find out, you need to add the times

Pentru a afla, trebuie să adăugați timpul

of each of the pieces of the journey.

pentru fiecare distanță a călătoriei.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Problema e că există un număr infinit de astfel de „fragmente” de timp finite.

So, shouldn't the total time be infinity?

N-ar trebui, deci, ca timpul total să fie infinit?

This argument, by the way, is completely general.

Apropos, acest argument e complet general.

It says that traveling from any location to any other location

Spune că drumul de la orice locație până la o altă locație

should take an infinite amount of time.

ar trebuie să dureze o perioadă infinită de timp.

In other words, it says that all motion is impossible.

Cu alte cuvinte, spune că mișcarea e imposibilă.

This conclusion is clearly absurd,

Evident, concluzia asta e absurdă,

but where is the flaw in the logic?

dar unde e fisura în logică?

To resolve the paradox,

Pentru a rezolva paradoxul,

it helps to turn the story into a math problem.

ne ajută dacă transformăm povestea într-o problemă matematică.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Să presupunem că parcul e la un kilometru de casa lui Zeno.

and that Zeno walks at one mile per hour.

și că Zeno merge cu un kilometru pe oră.

Common sense tells us that the time for the journey

Logica ne spune că timpul necesar pentru călătorie

should be one hour.

ar trebui să fie o oră.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Dar hai să privim lucrurile prin raționamentul lui Zeno

and divide up the journey into pieces.

și să împărțim călătoria în porțiuni.

The first half of the journey takes half an hour,

Prima jumătate a călătoriei durează o jumătate de oră,

the next part takes quarter of an hour,

următoarea porțiune durează un sfert de oră,

the third part takes an eighth of an hour,

a treia parte durează o optime de oră,

and so on.

Summing up all these times,

și așa mai departe.

Adunând toate aceste perioade,

we get a series that looks like this.

obținem o serie care arată cam așa.

"Now", Zeno might say,

„Acum”, ar spune Zeno,

"since there are infinitely many of terms

„din moment ce există o infinitate de termeni

on the right side of the equation,

în partea dreaptă a ecuației,

and each individual term is finite,

și fiecare termen e finit,

the sum should equal infinity, right?"

suma ar trebui să fie egală cu infinitul, nu-i așa?”

This is the problem with Zeno's argument.

Asta e problema în paradoxul lui Zeno.

As mathematicians have since realized,

După cum au realizat matematicienii,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

e posibil să aduni o infinitate de numere finite

and still get a finite answer.

și să obții un număr finit.

"How?" you ask.

„Cum?” veți întreba.

Well, let's think of it this way.

Hai să privim lucrurile astfel.

Let's start with a square that has area of one meter.

Să începem cu o suprafață cu aria de un metru pătrat.

Now let's chop the square in half,

Apoi să împărțim pătratul în jumătate,

and then chop the remaining half in half,

și jumătatea care rămâne în jumătate,

and so on.

și așa mai departe.

While we're doing this,

În timp ce facem asta,

let's keep track of the areas of the pieces.

să ținem evidența ariilor.

The first slice makes two parts,

Prima „felie” împarte pătratul în două,

each with an area of one-half

fiecare cu o arie de o jumătate.

The next slice divides one of those halves in half,

Următoarea felie împarte una dintre cele două jumătăți în jumătate,

and so on.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

și așa mai departe.

Dar indiferent de câte ori o înjumătățim,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

aria totală e suma ariilor tuturor părților.

Now you can see why we choose this particular way

Înțelegeți acum de ce alegem acest fel

of cutting up the square.

de a tăia pătratul.

We've obtained the same infinite series

Am obținut aceeași serie infinită

as we had for the time of Zeno's journey.

pe care am avut-o pentru timpul călătoriei lui Zeno.

As we construct more and more blue pieces,

Pe măsură ce tăiem tot mai multe bucăți,

to use the math jargon,

în jargon matematic,

as we take the limit as n tends to infinity,

atingem limita pentru n tinzând la infinit

the entire square becomes covered with blue.

când întregul pătrat e acoperit de albastru.

But the area of the square is just one unit,

Dar aria pătratului e doar o unitate,

and so the infinite sum must equal one.

deci suma infinită trebuie să fie egală cu unu.

Going back to Zeno's journey,

Întorcându-ne la plimbarea lui Zeno,

we can now see how how the paradox is resolved.

vedem acum cum e rezolvat paradoxul.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Nu numai că seria infinită are o sumă finită,

but that finite answer is the same one

dar acel număr finit e același

that common sense tells us is true.

cu cel pe care ni-l indică rațiunea.

Zeno's journey takes one hour.

Plimbarea lui Zeno durează o oră.