What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Переводчик: Azat Garipov Редактор: Yulia Kallistratova

This is Zeno of Elea,

Это Зенон Элейский —

an ancient Greek philosopher

древнегреческий философ,

famous for inventing a number of paradoxes,

известный тем, что открыл парадоксы,

arguments that seem logical,

где аргументы выглядят логично,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

но заключения либо абсурдны, либо противоречивы.

For more than 2,000 years,

Вот уже более 2 000 лет

Zeno's mind-bending riddles have inspired

головоломки Зенона вдохновляют

mathematicians and philosophers

математиков и философов

to better understand the nature of infinity.

лучше понять природу бесконечности.

One of the best known of Zeno's problems

Одна из самых известных задач Зенона

is called the dichotomy paradox,

называется парадокс дихотомии,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

что на древнегреческом означает «парадокс деления на две части».

It goes something like this:

Это звучит примерно так:

After a long day of sitting around, thinking,

после долгого дня, проведённого в раздумьях,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Зенон решает прогуляться от своего дома до парка.

The fresh air clears his mind

Свежий воздух очищает его разум

and help him think better.

и помогает сосредоточиться.

In order to get to the park,

Чтобы добраться до парка,

he first has to get half way to the park.

сначала необходимо преодолеть половину пути.

This portion of his journey

Эта часть путешествия

takes some finite amount of time.

занимает некоторое конечное время.

Once he gets to the halfway point,

Когда он достигнет середины пути,

he needs to walk half the remaining distance.

нужно будет пройти половину оставшегося расстояния.

Again, this takes a finite amount of time.

И снова это займёт какое то конечное время.

Once he gets there, he still needs to walk

После, ему снова необходимо преодолеть

half the distance that's left,

половину от оставшегося расстояния,

which takes another finite amount of time.

на что снова понадобится некоторое конечное время.

This happens again and again and again.

Это будет происходить снова и снова.

You can see that we can keep going like this forever,

Как видите, Зенон может идти так бесконечно,

dividing whatever distance is left

деля оставшееся расстояние

into smaller and smaller pieces,

на всё меньшие и меньшие части,

each of which takes some finite time to traverse.

каждая из которых требует определённое время на прохождение.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Так как же долго Зенон шёл до парка?

Well, to find out, you need to add the times

Для начала мы должны сложить время,

of each of the pieces of the journey.

потраченное на каждую часть путешествия.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Но проблема в бесконечном количестве этих частей-половинок.

So, shouldn't the total time be infinity?

Получается, что и время путешествия будет бесконечным?

This argument, by the way, is completely general.

Этот аргумент можно обобщить:

It says that traveling from any location to any other location

«Путешествие из одного места в любое другое место

should take an infinite amount of time.

занимает бесконечное время».

In other words, it says that all motion is impossible.

Другими словами, любое движение невозможно.

This conclusion is clearly absurd,

Это заключение совершенно абсурдно!

but where is the flaw in the logic?

Но где же находится изъян в этой логике?

To resolve the paradox,

Чтобы решить этот парадокс,

it helps to turn the story into a math problem.

нам следует перевести историю в математическое уравнение.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Предположим, что дом Зенона в одной миле от парка,

and that Zeno walks at one mile per hour.

и Зенон идёт со скоростью одна миля в час.

Common sense tells us that the time for the journey

Простое арифметическое вычисление показывает,

should be one hour.

что путешествие продлится 1 час.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Но давайте взглянем на это с точки зрения Зенона

and divide up the journey into pieces.

и разобьём путешествие на части.

The first half of the journey takes half an hour,

Первая часть путешествия займёт 1/2 часа,

the next part takes quarter of an hour,

следующая — 1/4 часа,

the third part takes an eighth of an hour,

следующая — 1/8 часа,

and so on.

Summing up all these times,

и так далее.

Сложив все временны́е отрезки,

we get a series that looks like this.

мы получим пример, выглядящий так.

"Now", Zeno might say,

«Итак, — сказал бы Зенон, —

"since there are infinitely many of terms

поскольку справа в уравнении

on the right side of the equation,

мы имеет бесконечное число частей

and each individual term is finite,

и каждая часть конечна,

the sum should equal infinity, right?"

сумма должна равняться бесконечности, не так ли?»

This is the problem with Zeno's argument.

В этом и заключается проблема аргументации Зенона.

As mathematicians have since realized,

Позже математики поняли,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

что возможно складывать бесконечное множество частей

and still get a finite answer.

и при этом получать конечный ответ.

"How?" you ask.

Но вы спросите: «Как?»

Well, let's think of it this way.

Взглянем на пример.

Let's start with a square that has area of one meter.

Начнём с квадрата площадью в один квадратный метр.

Now let's chop the square in half,

Затем поделим его пополам,

and then chop the remaining half in half,

потом поделим половину ещё пополам

and so on.

и так далее.

While we're doing this,

Пока мы это делаем,

let's keep track of the areas of the pieces.

определим площадь получаемых частей.

The first slice makes two parts,

Первый разрез образует две части,

each with an area of one-half

каждая площадью, равной половине первой.

The next slice divides one of those halves in half,

Следующий разрез делит одну из них ещё пополам

and so on.

и так далее.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Не важно, сколько раз мы будем разрезать квадрат,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

общая площадь квадрата будет равняться сумме всех его частей.

Now you can see why we choose this particular way

Теперь вы можете понять, почему мы выбрали

of cutting up the square.

именно этот способ деления квадрата.

We've obtained the same infinite series

Мы получили ту же бесконечную серию,

as we had for the time of Zeno's journey.

что и в истории Зенона.

As we construct more and more blue pieces,

Создавая всё новые и новые голубые участки,

to use the math jargon,

или, выражаясь математическим языком,

as we take the limit as n tends to infinity,

взяв предел при n, стремящейся к бесконечности,

the entire square becomes covered with blue.

до полного заполнения квадрата голубым цветом.

But the area of the square is just one unit,

Но площадь квадрата — это целая часть,

and so the infinite sum must equal one.

поэтому и сумма бесконечных частей тоже должна быть равна одному.

Going back to Zeno's journey,

Вернёмся к путешествию Зенона.

we can now see how how the paradox is resolved.

Теперь мы можем увидеть, как разрешается парадокс.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

В сумме бесконечные части дают нам конечный ответ,

but that finite answer is the same one

и этот конечный ответ такой же,

that common sense tells us is true.

какой диктует нам наш здравый смысл.

Zeno's journey takes one hour.

Путешествие Зенона заняло 1 час.