What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Zeeva Livshitz

This is Zeno of Elea,

זה זינו מאליה,

an ancient Greek philosopher

פילוסוף יווני עתיק

famous for inventing a number of paradoxes,

שידוע בהמצאת מספר פרדוקסים,

arguments that seem logical,

טיעונים שנראים הגיוניים,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

אבל שהתוצאה שלהם היא אבסורדית או סותרת.

For more than 2,000 years,

במשך יותר מ 2000 שנה,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

החידות הקשות של זינו נתנו השראה

mathematicians and philosophers

למתמטיקאים ופילוסופים

to better understand the nature of infinity.

כדי להבין טוב יותר את האופי של האין סוף.

One of the best known of Zeno's problems

אחת מהבעיות היותר ידועות של זינו

is called the dichotomy paradox,

נקראת פרדוקס הדיכוטומיה,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

שכוונתו היא "הפרדוקס של חיתוך לשניים" ביוונית עתיקה.

It goes something like this:

הוא הולך בערך ככה:

After a long day of sitting around, thinking,

אחרי יום ארוך של ישיבה וחשיבה,

Zeno decides to walk from his house to the park.

זינו מחליט ללכת מביתו לפארק.

The fresh air clears his mind

האויר הטרי מרענן את מוחו

and help him think better.

ועוזר לו חשוב יותר בבהירות.

In order to get to the park,

כדי להגיע לפארק,

he first has to get half way to the park.

הוא צריך ראשית ללכת חצי מהדרך לפארק.

This portion of his journey

החלק הזה של הטיול

takes some finite amount of time.

לוקח זמן קבוע.

Once he gets to the halfway point,

ברגע שהוא מגיע לנקודת האמצע,

he needs to walk half the remaining distance.

הוא צריך ללכת חצי מהמרחק שנותר.

Again, this takes a finite amount of time.

שוב, זה לוקח זמן מסויים קבוע.

Once he gets there, he still needs to walk

ברגע שהוא מגיע לשם, הוא עדיין צריך ללכת

half the distance that's left,

חצי מהמרחק שנותר,

which takes another finite amount of time.

מה שלוקח לו עוד זמן מסויים.

This happens again and again and again.

זה קורה שוב ושוב ושוב.

You can see that we can keep going like this forever,

אתם יכולים לראות שזה יכול להמשיך לעד,

dividing whatever distance is left

חלוקת המרחק שנותר

into smaller and smaller pieces,

לחלקים קטנים יותר ויותר,

each of which takes some finite time to traverse.

כל אחד מהם לוקח זמן מסויים לעבור.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

אז, כמה זמן לוקח לזינו להגיע לפארק?

Well, to find out, you need to add the times

ובכן, כדי לדעת, אתם צריכים לחבר את הזמנים

of each of the pieces of the journey.

של כל אחת מפיסות הדרך.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

הבעיה היא, שיש מספר אין סופי של פיסות דרך אלו.

So, shouldn't the total time be infinity?

אז, האם הזמן הכולל צריך להיות אין סופי?

This argument, by the way, is completely general.

הטיעון הזה, דרך אגב, הוא כללי לחלוטין.

It says that traveling from any location to any other location

הוא אומר שמעבר מנקודה לנקודה אחרת

should take an infinite amount of time.

צריך לקחת זמן אין סופי.

In other words, it says that all motion is impossible.

במילים אחרות, זה אומר שכל תנועה היא בלתי אפשרית.

This conclusion is clearly absurd,

המסקנה הזו היא אבסורדית לחלוטין,

but where is the flaw in the logic?

אבל איפה הכשל בהיגיון?

To resolve the paradox,

כדי לפתור את הפרדוקס הזה,

it helps to turn the story into a math problem.

זה עוזר להפוך את הסיפור הזה לבעיה מתמטית.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

בואו נניח שהבית של זינו נמצא מייל אחד מהפארק

and that Zeno walks at one mile per hour.

ושזינו הולך מייל אחד בשעה.

Common sense tells us that the time for the journey

ההגיון אומר לנו שהזמן שמשךההליכה

should be one hour.

צריך להיות שעה.

But, let's look at things from Zeno's point of view

אבל, בואו נביט בזה מנקודת מבטו של זינו

and divide up the journey into pieces.

ונחלק את הדרך לקטעים.

The first half of the journey takes half an hour,

החצי הראשון של ההליכה יקח חצי שעה,

the next part takes quarter of an hour,

החלק הבא יקח רבע שעה,

the third part takes an eighth of an hour,

השלישי שמינית שעה,

and so on.

Summing up all these times,

וכך הלאה.

כשמסכמים את כל הזמנים האלה,

we get a series that looks like this.

אנחנו מקבלים סדרה שנראית ככה.

"Now", Zeno might say,

"עכשיו" זינו אולי יגיד,

"since there are infinitely many of terms

"מאחר ויש מספר מונחים אין סופיים

on the right side of the equation,

בצד ימין של המשוואה,

and each individual term is finite,

וכל מונח הוא סופי,

the sum should equal infinity, right?"

הסכום צריך להיות אין סופי, נכון?"

This is the problem with Zeno's argument.

זו הבעיה של הטיעון של זינו.

As mathematicians have since realized,

מה שמתמטיקאים הבינו מאז,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

זה שזה אפשרי לחבר מספר אין סופי של מונחים עם גודל סופי

and still get a finite answer.

ועדיין לקבל תשובה סופית.

"How?" you ask.

"איך?" אתם שואלים.

Well, let's think of it this way.

ובכן, בואו נחשוב על זה כך.

Let's start with a square that has area of one meter.

בואו נתחיל עם ריבוע שיש לו שטח של מטר אחד.

Now let's chop the square in half,

עכשיו בואו נחתוך את הריבוע לשניים,

and then chop the remaining half in half,

ואז את השארית לשניים,

and so on.

וכך הלאה.

While we're doing this,

במן שאנחנו עושים את זה,

let's keep track of the areas of the pieces.

בואו ונעקוב אחרי שטח החתיכות.

The first slice makes two parts,

החיתוך הראשון יוצר שני חלקים,

each with an area of one-half

כל אחד בשטח של חצי

The next slice divides one of those halves in half,

החיתוך הבא מחלק את החצאים האלו לחצי,

and so on.

וכך הלאה.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

אבל, לא משנה כמה פעמים נחתוך את הקופסאות,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

השטח הכולל הוא עדיין סכום כל החלקים.

Now you can see why we choose this particular way

עכשיו אתם יכולים לראות למה בחרנו בדרך המסויימת הזו

of cutting up the square.

של חיתוך ריבוע.

We've obtained the same infinite series

השגנו את אותה סדרה אין סופית

as we had for the time of Zeno's journey.

כמו זמן ההליכה של זינו.

As we construct more and more blue pieces,

כשאנחנו מרכיבים יותר ויותר חלקים כחולים,

to use the math jargon,

אם נשתמש במונחים מתמטיים,

as we take the limit as n tends to infinity,

כשאנחנו לוקחים את הגבול כ n שואף לאין סוף,

the entire square becomes covered with blue.

כל הריבוע הופך למכוסה בכחול.

But the area of the square is just one unit,

אבל השטח של הריבוע הוא רק יחידה אחת,

and so the infinite sum must equal one.

וכך הסכום הסופי חייב להיות אחד.

Going back to Zeno's journey,

אם נחזור להליכה של זינו,

we can now see how how the paradox is resolved.

אנחנו יכולים לראות עכשיו איך הפרדוקס נפתר.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

לא רק שהסדרה האין סופית מסתכמת לתשובה סופית,

but that finite answer is the same one

אלא שהתשובה הסופית היא אותה אחת

that common sense tells us is true.

שההגיון מכתיב לנו כנכונה.

Zeno's journey takes one hour.

ההליכה של זינו לוקחת שעה.