What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Τι είναι το "Παράδοξο της Διχοτομίας" του Ζήνωνα; - του Κολμ Κέλεχερ

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Μετάφραση: Panagiota Prokopi Επιμέλεια: Ioannis Leontaridis

This is Zeno of Elea,

Αυτός είναι ο Ζήνων ο Ελεάτης,

an ancient Greek philosopher

ένας αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος, διακεκριμένος επινοητής παραδόξων.

famous for inventing a number of paradoxes,

arguments that seem logical,

Επιχειρημάτων που ενώ φαίνονται λογικά, καταλήγουν παράλογα ή αμφισβητήσιμα.

but whose conclusion is absurd or contradictory.

For more than 2,000 years,

Για περισσότερα από 2.000 χρόνια,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

οι σπαζοκεφαλιές του Ζήνωνα ενέπνευσαν μαθηματικούς και φιλοσόφους

mathematicians and philosophers

to better understand the nature of infinity.

ώστε να κατανοήσουν καλύτερα τη φύση του απείρου.

One of the best known of Zeno's problems

Το γνωστότερο επινόημά του είναι το "Παράδοξο της Διχοτομίας",

is called the dichotomy paradox,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

το οποίο σημαίνει "το παράδοξο του να κόβω κάτι στα δύο".

It goes something like this:

Το οποίο είναι το εξής:

After a long day of sitting around, thinking,

Περνώντας μια κουραστική μέρα με πολύ σκέψη, αποφάσισε να πάει στο πάρκο.

Zeno decides to walk from his house to the park.

The fresh air clears his mind

Ο καθαρός αέρας καθαρίζει το μυαλό του και τον βοηθάει να σκέφτεται καλύτερα.

and help him think better.

In order to get to the park,

Αλλά για να φτάσει στο πάρκο, πρέπει να κάνει τη μισή διαδρομή.

he first has to get half way to the park.

This portion of his journey

Για να φτάσει μέχρι τη μέση, χρειάζεται κάποιο χρόνο.

takes some finite amount of time.

Once he gets to the halfway point,

Από τη μέση και μετά, πρέπει να περπατήσει το μισό του μισού.

he needs to walk half the remaining distance.

Again, this takes a finite amount of time.

Γι' αυτό χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.

Once he gets there, he still needs to walk

Από τη στιγμή που θα φτάσει εκεί, πρέπει να διασχίσει το μισό του υπολοίπου.

half the distance that's left,

which takes another finite amount of time.

Πάλι, χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο.

This happens again and again and again.

Όλο αυτό είναι κάτι που επαναλαμβάνεται διαρκώς.

You can see that we can keep going like this forever,

Μπορούμε να το κάνουμε αυτό επ' άπειρον.

dividing whatever distance is left

Να χωρίζουμε δηλαδή την απόσταση σε μικρότερες αποστάσεις.

into smaller and smaller pieces,

each of which takes some finite time to traverse.

Έτσι, η κάθε απόσταση χρειάζεται πεπερασμένο χρόνο για να διανυθεί.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Οπότε, πόσο χρόνο χρειάζεται ο Ζήνων για να φτάσει στο πάρκο;

Well, to find out, you need to add the times

Για να απαντηθεί το ερώτημα χρειάζεται να προστεθούν όλοι οι χρόνοι των τμημάτων.

of each of the pieces of the journey.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Το πρόβλημα είναι πως η απόσταση χωρίστηκε σε άπειρα μικρότερα τμήματα.

So, shouldn't the total time be infinity?

Άρα, δεδομένου αυτού, μήπως η απάντηση είναι το άπειρο;

This argument, by the way, is completely general.

Αυτό το επιχείρημα όμως είναι πολύ γενικευμένο.

It says that traveling from any location to any other location

Είναι σαν να λέμε πως το ταξίδι από ένα μέρος σε άλλο διαρκεί άπειρο χρόνο.

should take an infinite amount of time.

In other words, it says that all motion is impossible.

Με άλλα λόγια, εννοεί πως είναι αδύνατο να υπάρχει κίνηση.

This conclusion is clearly absurd,

Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράλογο, αλλά πού είναι το λάθος στη λογική αυτή;

but where is the flaw in the logic?

To resolve the paradox,

Για να λυθεί το παράδοξο, μετατρέπουμε την ιστορία σε μαθηματικό πρόβλημα.

it helps to turn the story into a math problem.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Ας υποθέσουμε πως το σπίτι του Ζήνωνα απέχει ένα μίλι από το πάρκο

and that Zeno walks at one mile per hour.

και ο Ζήνων περπατά με ταχύτητα ενός μιλίου την ώρα.

Common sense tells us that the time for the journey

Η κοινή λογική λέει πως η διαδρομή θα διαρκέσει μία ώρα.

should be one hour.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Αλλά ας δούμε πώς σκέφτεται ο Ζήνων και ας χωρίσουμε τη διαδρομή σε μέρη.

and divide up the journey into pieces.

The first half of the journey takes half an hour,

Για το πρώτο μέρος της διαδρομής χρειάζεται μισή ώρα,

the next part takes quarter of an hour,

για το δεύτερο μέρος 1/4 της ώρας, για το τρίτο μέρος το 1/8 της ώρας, κ.τ.λ..

the third part takes an eighth of an hour,

and so on.

Summing up all these times,

Αθροίζοντας όλους αυτούς τους χρόνους, παράγουμε μια σειρά σαν αυτή.

we get a series that looks like this.

"Now", Zeno might say,

Έτσι, ο Ζήνων θα πει: «Εφόσον υπάρχουν άπειροι όροι στο δεξί μέλος της εξίσωσης

"since there are infinitely many of terms

on the right side of the equation,

and each individual term is finite,

και κάθε όρος είναι πεπερασμένος, το άθροισμά της θα είναι το άπειρο».

the sum should equal infinity, right?"

This is the problem with Zeno's argument.

Αυτό είναι το πρόβλημα με το Παράδοξο του Ζήνωνα.

As mathematicians have since realized,

Οι μαθηματικοί από τότε κατάλαβαν πως το άθροισμα μιας άπειρης σειράς

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

πεπερασμένων όρων, μπορεί να έχει πεπερασμένο αποτέλεσμα.

and still get a finite answer.

"How?" you ask.

Αναρωτιέστε πώς συμβαίνει αυτό; Δείτε ένα παράδειγμα:

Well, let's think of it this way.

Let's start with a square that has area of one meter.

Πάρτε ένα τετράγωνο με εμβαδόν 1 και κόψτε το στη μέση.

Now let's chop the square in half,

and then chop the remaining half in half,

Μετά πάρτε το υπόλοιπο μισό και κόψτε το στη μέση και συνεχίστε έτσι.

and so on.

While we're doing this,

Ενώ κόβουμε, ας παρατηρήσουμε το εμβαδόν των κομματιών.

let's keep track of the areas of the pieces.

The first slice makes two parts,

Το πρώτο χωρίζεται σε δύο μέρη, το καθένα με εμβαδόν 1/2.

each with an area of one-half

The next slice divides one of those halves in half,

Το επόμενο σχήμα χωρίζει το μισό του μισού στη μέση και πάει λέγοντας.

and so on.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Όσες φορές και αν τα κόψουμε στη μέση, το συνολικό άθροισμα είναι πάντα ίδιο

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

με αυτό του αρχικού εξωτερικού εμβαδού.

Now you can see why we choose this particular way

Τώρα καταλαβαίνετε γιατί διαλέξαμε το παράδειγμα με τη διαίρεση του κύβου.

of cutting up the square.

We've obtained the same infinite series

Πήραμε την ίδια άπειρη σειρά με αυτή της διαδρομής του Ζήνωνα.

as we had for the time of Zeno's journey.

As we construct more and more blue pieces,

Ενώ διαιρούμε το εσωτερικό σε όλο και περισσότερα τετράγωνα,

to use the math jargon,

δηλαδή, με μαθηματικούς όρους, ενώ παίρνουμε το όριο

as we take the limit as n tends to infinity,

καθώς το n τείνει στο άπειρο, όλο το τετράγωνο γίνεται μπλε.

the entire square becomes covered with blue.

But the area of the square is just one unit,

Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1, άρα το άπειρο άθροισμα θα είναι 1.

and so the infinite sum must equal one.

Going back to Zeno's journey,

Σκεφτόμενοι ξανά τη διαδρομή του Ζήνωνα βλέπουμε πώς λύνεται το παράδοξο.

we can now see how how the paradox is resolved.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Η άπειρη σειρά δεν έχει μόνο πεπερασμένο άθροισμα,

but that finite answer is the same one

αλλά το άθροισμα αυτό είναι το ίδιο που προκύπτει και με την κοινή λογική.

that common sense tells us is true.

Zeno's journey takes one hour.

Η διαδρομή του Ζήνωνα θα διαρκέσει μία ώρα.