What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Što je Zenonov paradoks dihotomije? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Prevoditelj: Martina Valković Recezent: Ivan Stamenković

This is Zeno of Elea,

Ovo je Zenon iz Eleje,

an ancient Greek philosopher

antički grčki filozof

famous for inventing a number of paradoxes,

slavan po brojnim paradoksima koje je smislio,

arguments that seem logical,

argumentima koji djeluju

but whose conclusion is absurd or contradictory.

logični, no čija je konkluzija apsurdna ili kontradiktorna.

For more than 2,000 years,

Više od 2000 godina,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

Zenonove zagonetke inspirirale su

mathematicians and philosophers

matematičare i filozofe

to better understand the nature of infinity.

da bolje razumiju prirodu beskonačnosti.

One of the best known of Zeno's problems

Jedan od najpoznatijih Zenonovih

is called the dichotomy paradox,

problema zove se paradoks dihotomije,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

što na starom Grčkom znači "paradoks dijeljenja na dva dijela".

It goes something like this:

Ide otprilike ovako:

After a long day of sitting around, thinking,

Poslije dugog dana sjedenja i razmišljanja,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zenon odluči prošetati od svoje kuće od parka.

The fresh air clears his mind

Svjež zrak razbistruje mu um

and help him think better.

i pomaže kako bi bolje mislio.

In order to get to the park,

Kako bi došao do parka,

he first has to get half way to the park.

prvo mora doći na pola puta do parka.

This portion of his journey

Ovaj dio njegovog puta

takes some finite amount of time.

uzima neku konačnu količinu vremena.

Once he gets to the halfway point,

Jednom kada dođe do polovice,

he needs to walk half the remaining distance.

treba prehodati pola preostale udaljenosti.

Again, this takes a finite amount of time.

Ponovno, ovo uzima određenu količinu vremena.

Once he gets there, he still needs to walk

Jednom kada dođe do tamo, još treba prehodati

half the distance that's left,

pola preostale udaljenosti,

which takes another finite amount of time.

što opet uzima neku konačnu količinu vremena.

This happens again and again and again.

Ovo se ponavlja ponovno i ponovno i ponovno.

You can see that we can keep going like this forever,

Možete vidjeti da ovako možemo nastaviti u nedogled,

dividing whatever distance is left

dijeliti preostalu udaljenost

into smaller and smaller pieces,

na manje i manje dijelove,

each of which takes some finite time to traverse.

za prijelaz svakog od kojih je potrebno neko konačno vrijeme.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Pa, koliko dugo treba Zenonu da dođe do parka?

Well, to find out, you need to add the times

Kako bi to saznali, trebate zbrojiti vremena

of each of the pieces of the journey.

svih dijelova putovanja.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Problem je to što postoji beskonačno mnogo tih konačno velikih dijelova.

So, shouldn't the total time be infinity?

Stoga, nebi li ukupno vrijeme trebalo biti beskonačnost?

This argument, by the way, is completely general.

Ovaj argument je, usput rečeno, posve opći.

It says that traveling from any location to any other location

Kaže da bi putovanje od jedne do druge lokacije

should take an infinite amount of time.

trebalo trajati beskonačno dugo.

In other words, it says that all motion is impossible.

Drugim riječima, kaže da je svako kretanje nemoguće.

This conclusion is clearly absurd,

Ovakva konkluzija je očito apsurdna,

but where is the flaw in the logic?

no gdje je pogreška u logici?

To resolve the paradox,

Kako bi ga riješili,

it helps to turn the story into a math problem.

paradoks možemo pretvoriti u matematički problem.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Pretpostavimo da je Zenonova kuća udaljena milju od parka

and that Zeno walks at one mile per hour.

i da Zenon hoda brzinom od jedne milje na sat.

Common sense tells us that the time for the journey

Zdravi razum kaže nam da bi potrebno vrijeme

should be one hour.

trebalo biti sat vremena.

But, let's look at things from Zeno's point of view

No, pogledajmo stvari s Zenonove točke gledišta

and divide up the journey into pieces.

i podijelimo putovanje na dijelove.

The first half of the journey takes half an hour,

Prva polovica putovanja traje pola sata,

the next part takes quarter of an hour,

sljedeći dio traje četvrt sata,

the third part takes an eighth of an hour,

a treći dio traje osminu sata,

and so on.

Summing up all these times,

i tako dalje.

Zbrajajući sve ovo vrijeme,

we get a series that looks like this.

dobivamo niz koji izgleda ovako.

"Now", Zeno might say,

Zenon bi mogao reći,

"since there are infinitely many of terms

"s obzirom da imamo beskonačno mnogo uvjeta"

on the right side of the equation,

na desnoj strani jednadžbe,

and each individual term is finite,

a svaki individualni uvjet je konačan,

the sum should equal infinity, right?"

zbroj bi trebao biti jednak beskonačnosti, zar ne?"

This is the problem with Zeno's argument.

Ovo je problem sa Zenonovim argumentom.

As mathematicians have since realized,

Kao što su matematičari od tada shvatili,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

moguće je zbrojiti beskonačno mnogo konačnih uvjeta

and still get a finite answer.

i ipak dobiti konačni odgovor.

"How?" you ask.

"Kako?", pitate.

Well, let's think of it this way.

Pa, razmislimo o tome ovako.

Let's start with a square that has area of one meter.

Počnimo s kvadratom površine jednog metra.

Now let's chop the square in half,

Sada prerežimo kvadrat napola,

and then chop the remaining half in half,

a onda preostalu polovicu prerežimo napola,

and so on.

i tako dalje.

While we're doing this,

Dok ovo radimo,

let's keep track of the areas of the pieces.

vodimo računa o površinama dijelova.

The first slice makes two parts,

Prvo rezanje stvara dva dijela,

each with an area of one-half

svaki površine pola metra.

The next slice divides one of those halves in half,

Sljedeće rezanje dijeli jednu od te dvije polovice

and so on.

napola, i tako dalje.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

No, bez obzira na to koliko puta prerežemo kvadrate,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

ukupna površina je i dalje zbroj površina svih dijelova.

Now you can see why we choose this particular way

Sada možemo vidjeti zašto smo izabrali baš ovaj način

of cutting up the square.

dijeljenja kvadrata.

We've obtained the same infinite series

Dobili smo isti beskonačni niz

as we had for the time of Zeno's journey.

kao što smo imali kod vremena Zenonovog putovanja.

As we construct more and more blue pieces,

Kako konsturiramo sve više plavih dijelova,

to use the math jargon,

matematičkim žargonom rečeno,

as we take the limit as n tends to infinity,

kako uzimamo granicu jer n teži beskonačnosti,

the entire square becomes covered with blue.

cijeli kvadrat postaje pokriven plavim.

But the area of the square is just one unit,

No površina kvadrata je samo jedna jedinica,

and so the infinite sum must equal one.

i tako beskonačni zbroj mora biti jednak jedan.

Going back to Zeno's journey,

Sada možemo vidjeti

we can now see how how the paradox is resolved.

kako je paradoks Zenonovog putovanja razriješen.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Ne samo da beskonačni niz daje konačni zbroj,

but that finite answer is the same one

već je taj konačni zbroj isti onaj

that common sense tells us is true.

za kojeg nam zdravi razum kaže da je točan odgovor.

Zeno's journey takes one hour.

Zenonov put traje jedan sat.