What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

제노의 이분법적 역설이란 무엇일까? - 콜름 켈러허(Colm Kelleher)

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

번역: K Bang 검토: HeaJun An

This is Zeno of Elea,

이 사람은 엘리아 출신의 제노입니다.

an ancient Greek philosopher

고대 그리스의 철학자로서

famous for inventing a number of paradoxes,

수많은 역설과 얼핏 보기에는 논리적이지만

arguments that seem logical,

결과가 이상하거나 모순적인 논제를

but whose conclusion is absurd or contradictory.

만들어 낸 것으로 유명합니다.

For more than 2,000 years,

2천년이 넘는 시간 동안,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

생각을 혼동스럽게 하는 제노의 수수께끼들은

mathematicians and philosophers

수학자들과 철학자들에게 영감을 불어넣어

to better understand the nature of infinity.

무한의 특성을 잘 이해할 수 있도록 했습니다.

One of the best known of Zeno's problems

가장 잘 알려진 제노의 문제는

is called the dichotomy paradox,

"이분법적 역설(dichotomy paradox)"이라고 합니다.

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

이것은 고대 그리스어로 "반으로 잘라 생기는 역설"을 의미합니다.

It goes something like this:

이렇게 시작합니다:

After a long day of sitting around, thinking,

하루 종일 앉아서 생각만하다가

Zeno decides to walk from his house to the park.

제노는 집에서 공원까지 산책을 하기로 합니다.

The fresh air clears his mind

신선한 공기는 그의 정신을 맑게 하고

and help him think better.

생각을 더 잘 할 수 있도록 돕습니다.

In order to get to the park,

공원에 가려면

he first has to get half way to the park.

그는 일단 공원의 중간 지점까지 가야합니다.

This portion of his journey

전체 여정에서 이 만큼은

takes some finite amount of time.

유한한 양의 시간이 걸리죠.

Once he gets to the halfway point,

중간 지점에 도달하면

he needs to walk half the remaining distance.

나머지 거리의 반을 더 갑니다.

Again, this takes a finite amount of time.

이번에도 유한한 양의 시간이 걸리죠.

Once he gets there, he still needs to walk

거기까지 가면, 남은 거리의

half the distance that's left,

반을 더 가야합니다.

which takes another finite amount of time.

이것 또한 유한한 양의 시간이 필요하죠.

This happens again and again and again.

이런 일이 계속 반복됩니다.

You can see that we can keep going like this forever,

남은 거리가 얼마 이건 간에

dividing whatever distance is left

더 작은 구간으로 계속 나누다 보면

into smaller and smaller pieces,

이런 방식으로 영원히 갈 수 있다는 것을 알 수 있을 것 입니다.

each of which takes some finite time to traverse.

이 각각의 작은 구간을 지나는 데에는 유한한 시간이 걸립니다.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

그러면 제노가 공원에 도달하기 위해서는 모두 얼마의 시간이 걸릴까요?

Well, to find out, you need to add the times

그것을 알아내기 위해서,

of each of the pieces of the journey.

각각의 짧은 구간에서 걸린 시간들을 모두 더해야 합니다.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

문제는 이런 유한한 시간들의 조각들이 무한히 많이 있다는 점이에요.

So, shouldn't the total time be infinity?

그러면 시간의 전체 합은 무한대가 되어야하지 않을까요?

This argument, by the way, is completely general.

그런데 이런 논제는 아주 일반적인 것이에요.

It says that traveling from any location to any other location

한 지점에서 다른 지점까지 움직이는 데에는

should take an infinite amount of time.

무한히 긴 시간이 걸린다는 것이지요.

In other words, it says that all motion is impossible.

바꿔 말하면, 어떤 움직임도 불가능하다는 것이죠.

This conclusion is clearly absurd,

이런 결론은 정말 말도 안되는 것이지만

but where is the flaw in the logic?

이 논리에 어떤 결함이 있는걸까요?

To resolve the paradox,

이 역설을 풀기 위해서

it helps to turn the story into a math problem.

이야기를 수학 문제로 바꾸면 도움이 됩니다.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

제노의 집이 공원에서 1 마일 떨어져 있다고 가정해 보죠.

and that Zeno walks at one mile per hour.

그리고 제노는 시간당 1마일을 걷습니다.

Common sense tells us that the time for the journey

전체 이동 시간이 한 시간이라는 것을

should be one hour.

상식적으로 알 수 있습니다.

But, let's look at things from Zeno's point of view

하지만 이 상황을 제노의 관점에서

and divide up the journey into pieces.

전체 여정을 작은 구간으로 나누어 봅시다.

The first half of the journey takes half an hour,

그 여정의 처음 반은 30분 걸리고,

the next part takes quarter of an hour,

그 다음은 15분이 걸리고,

the third part takes an eighth of an hour,

그 나머지 반은 7.5분이 걸립니다.

and so on.

Summing up all these times,

이런식으로 계속되는 것이죠,

이 각각의 시간들을 모두 더하면

we get a series that looks like this.

이런 모습의 "급수(series)"가 만들어집니다.

"Now", Zeno might say,

제노가 말합니다.

"since there are infinitely many of terms

" 이제 이 식의 오른쪽에

on the right side of the equation,

무한히 많은 수가 있고

and each individual term is finite,

각 항은 유한하니까

the sum should equal infinity, right?"

그 총합은 무한대겠지?"

This is the problem with Zeno's argument.

이것이 바로 제노의 논증에서 문제가 되는 부분입니다.

As mathematicians have since realized,

그 후에 수학자들이 알아냈 듯이

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

유한한 크기의 항을 무한히 더해도

and still get a finite answer.

그 값은 유한한 값이 될 수 있습니다.

"How?" you ask.

"어떻게"라고 물으시겠죠.

Well, let's think of it this way.

자, 이렇게 생각해 봅시다.

Let's start with a square that has area of one meter.

넓이가 1 인 정사각형을 생각해보죠.

Now let's chop the square in half,

이제 그 사각형을 반으로 잘라내고

and then chop the remaining half in half,

그 남은 반을 다시 반으로 자르기를

and so on.

반복합니다.

While we're doing this,

이렇게 하면서

let's keep track of the areas of the pieces.

각 단계에서 남은 넓이를 생각해보죠.

The first slice makes two parts,

첫번째 조각은 둘로 나뉘니까

each with an area of one-half

각각은 넓이가 1/2이 됩니다.

The next slice divides one of those halves in half,

그 한 조각을 반으로 나누면 반의 반이 되고,

and so on.

이걸 반복하는 겁니다.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

하지만 그 사각형을 아무리 여러번 조각내더라도

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

전체 넓이는 여전히 작은 조각들의 넓이의 합과 같습니다.

Now you can see why we choose this particular way

아마 이제 여러분들은 우리가 왜 하필 정사각형을

of cutting up the square.

이렇게 잘랐는지 알게 될 것입니다.

We've obtained the same infinite series

이렇게 해서 얻은 무한 급수는

as we had for the time of Zeno's journey.

제노의 여정에서 나온 급수와 똑같아요.

As we construct more and more blue pieces,

파란색 조각을 계속해서 많이 만들고,

to use the math jargon,

수학적 용어를 사용합니다.

as we take the limit as n tends to infinity,

n 이 무한대로 가는 극한을 취하면

the entire square becomes covered with blue.

전체 사각형은 파란색으로 뒤덮이게 되죠.

But the area of the square is just one unit,

하지만 사각형의 넓이는 정확하게 1 이니까

and so the infinite sum must equal one.

무한 합은 1 이어야만 하죠.

Going back to Zeno's journey,

제노의 여정으로 돌아가면,

we can now see how how the paradox is resolved.

우리는 제노의 역설이 어떻게 해결되는지 알 수 있습니다.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

무한 급수의 합이 유한한 값일 뿐만 아니라

but that finite answer is the same one

그 유한의 답은 우리가 상식적으로 생각하는 그 값과

that common sense tells us is true.

일치한다는 것 입니다.

Zeno's journey takes one hour.

제노의 여정은 1시간이 걸리죠.