What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

O co chodzi w paradoksie dychotomii Zenona? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Tłumaczenie: Krystyna Lewinska Korekta: Capa Girl

This is Zeno of Elea,

To jest Zenon z Elei,

an ancient Greek philosopher

starożytny grecki filozof,

famous for inventing a number of paradoxes,

który wymyślił wiele paradoksów -

arguments that seem logical,

argumentów, które wydają się logiczne

but whose conclusion is absurd or contradictory.

ale prowadzą do absurdalnych lub sprzecznych wniosków.

For more than 2,000 years,

Przez ponad dwa tysiące lat

Zeno's mind-bending riddles have inspired

zawiłe zagadki Zenona

mathematicians and philosophers

inspirowały matematyków i filozofów,

to better understand the nature of infinity.

by lepiej zrozumieć naturę nieskończoności.

One of the best known of Zeno's problems

Jeden z najbardziej znanych problemów Zenona

is called the dichotomy paradox,

nazywamy paradoksem dychotomii

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

czyli paradoksem "dzielenia na pół" w starożytnej grece.

It goes something like this:

Było mniej więcej tak...

After a long day of sitting around, thinking,

Po długim dniu rozmyślań

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zenon postanawia przejść się na spacer do parku.

The fresh air clears his mind

Świeże powietrze oczyszcza umysł

and help him think better.

i pomaga lepiej myśleć.

In order to get to the park,

Żeby dostać się do parku,

he first has to get half way to the park.

Zenon najpierw musi przejść połowę drogi.

This portion of his journey

Ta część wycieczki

takes some finite amount of time.

zajmuje pewną skończoną ilość czasu.

Once he gets to the halfway point,

Kiedy już jest w połowie,

he needs to walk half the remaining distance.

musi przejść połowę pozostałej odległości.

Again, this takes a finite amount of time.

I znów, zajmuje to skończony czas.

Once he gets there, he still needs to walk

Następnie znów ma przed sobą

half the distance that's left,

połowę pozostałej odległości,

which takes another finite amount of time.

którą przebywa w określonym czasie.

This happens again and again and again.

Sytuacja powtarza się.

You can see that we can keep going like this forever,

Widzicie, że możemy to robić w nieskończoność,

dividing whatever distance is left

dzielić pozostałą odległość

into smaller and smaller pieces,

na coraz mniejsze kawałki,

each of which takes some finite time to traverse.

a przebycie każdego to określony czas.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Ile więc zajmie droga Zenona do parku?

Well, to find out, you need to add the times

Żeby to sprawdzić musimy dodać czasy

of each of the pieces of the journey.

wszystkich odcinków jego wycieczki.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Problem w tym, że ilość tych skończonych odcinków jest nieskończona.

So, shouldn't the total time be infinity?

Czy zatem całkowity czas to nieskończoność?

This argument, by the way, is completely general.

Zauważcie, że ten argument dotyczy wszystkiego.

It says that traveling from any location to any other location

Chodzi o to, że podróż z jednego punktu do innego

should take an infinite amount of time.

powinna trwać nieskończoność.

In other words, it says that all motion is impossible.

Innymi słowy, wszelki ruch jest niemożliwy.

This conclusion is clearly absurd,

Ten wniosek jest oczywiście absurdalny.

but where is the flaw in the logic?

Ale gdzie jest błąd w logice?

To resolve the paradox,

By rozwiązać ten paradoks,

it helps to turn the story into a math problem.

musimy posłużyć się matematyką.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Załóżmy, że park znajduje się w odległości mili od domu Zenona,

and that Zeno walks at one mile per hour.

a on chodzi z prędkością jednej mili na godzinę.

Common sense tells us that the time for the journey

Na zdrowy rozum wiemy,

should be one hour.

że droga powinna zająć godzinę.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Ale spójrzmy na to jak Zenon

and divide up the journey into pieces.

i podzielmy drogę na kawałki.

The first half of the journey takes half an hour,

Pierwsza połowa zajmie pół godziny,

the next part takes quarter of an hour,

kolejna część ćwiartkę,

the third part takes an eighth of an hour,

trzecia jedną ósmą godziny,

and so on.

Summing up all these times,

i tak dalej.

Kiedy dodamy wszystkie te czasy

we get a series that looks like this.

wyjdzie nam taki ciąg.

"Now", Zeno might say,

"Teraz" - powiedziałby Zenon,

"since there are infinitely many of terms

"skoro jest nieskończenie wiele czasów

on the right side of the equation,

po prawej stronie równania

and each individual term is finite,

a każdy z nich jest skończony,

the sum should equal infinity, right?"

sumą powinna być nieskończoność, tak?".

This is the problem with Zeno's argument.

Oto problem z argumentem Zenona.

As mathematicians have since realized,

Jak zauważyli matematycy,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

możemy dodać nieskończenie wiele skończonych części

and still get a finite answer.

i wciąż mieć skończony wynik.

"How?" you ask.

Pytacie jak?

Well, let's think of it this way.

Cóż, spójrzmy na to w ten sposób.

Let's start with a square that has area of one meter.

Mamy kwadrat o powierzchni jednego metra.

Now let's chop the square in half,

Podzielimy go na pół,

and then chop the remaining half in half,

następnie pozostałą część na pół

and so on.

i tak dalej.

While we're doing this,

Ale dzieląc

let's keep track of the areas of the pieces.

przyjrzyjmy się powierzchni powstałych części.

The first slice makes two parts,

Pierwsze cięcie tworzy dwie części,

each with an area of one-half

każda po powierzchni połowy.

The next slice divides one of those halves in half,

W kolejnym dzielimy jedną z połówek na pół

and so on.

i tak dalej.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Jednak ile razy byśmy nie dzielili

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

powierzchnia całkowita to wciąż suma wszystkich części.

Now you can see why we choose this particular way

Widzicie teraz dlaczego

of cutting up the square.

pokazujemy to właśnie tak.

We've obtained the same infinite series

Powstała taka sama nieskończona seria podziałów,

as we had for the time of Zeno's journey.

jak w przypadku czasu podróży Zenona.

As we construct more and more blue pieces,

Kiedy tworzymy kolejne niebieskie kawałki,

to use the math jargon,

mówiąc matematycznie -

as we take the limit as n tends to infinity,

zakładamy, że n dąży do nieskończoności

the entire square becomes covered with blue.

cały kwadrat staje się niebieski.

But the area of the square is just one unit,

Ale kwadrat jest jeden,

and so the infinite sum must equal one.

więc suma tej nieskończonej ilości musi być równa 1.

Going back to Zeno's journey,

Wracając do podróży Zenona

we can now see how how the paradox is resolved.

możemy zobaczyć, że rozwiązaliśmy paradoks.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Nie tylko nieskończona seria prowadzi do skończonego wyniku,

but that finite answer is the same one

ale ten wynik jest taki sam

that common sense tells us is true.

jak ten, który podpowiadał nam zdrowy rozsądek.

Zeno's journey takes one hour.

Podróż Zenona zajmie godzinę.