What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

¿Qué es la paradoja dicotómica de Zenón? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Traductor: Sebastian Betti Revisor: Emma Gon

This is Zeno of Elea,

Este es Zenón de Elea,

an ancient Greek philosopher

un antiguo filósofo griego

famous for inventing a number of paradoxes,

famoso por inventar una serie de paradojas,

arguments that seem logical,

argumentos que parecen lógicos,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

pero cuya conclusión es absurda o contradictoria.

For more than 2,000 years,

Durante más de 2000 años,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

los enigmas alucinantes de Zenón inspiraron

mathematicians and philosophers

a matemáticos y filósofos

to better understand the nature of infinity.

a comprender mejor la naturaleza del infinito.

One of the best known of Zeno's problems

Uno de los problemas más conocidos de Zenón

is called the dichotomy paradox,

es la paradoja dicotómica,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

que en griego antiguo significa "la paradoja de cortar en dos".

It goes something like this:

Dice así:

After a long day of sitting around, thinking,

Después de pasar un largo día pensando,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zenón decide caminar desde su casa hacia el parque.

The fresh air clears his mind

El aire fresco despeja su mente

and help him think better.

y le ayuda a pensar mejor.

In order to get to the park,

Para llegar al parque

he first has to get half way to the park.

primero tiene que llegar a la mitad del camino al parque.

This portion of his journey

Esta porción de su viaje

takes some finite amount of time.

lleva un tiempo finito.

Once he gets to the halfway point,

Una vez que llega a la mitad del camino

he needs to walk half the remaining distance.

tiene que caminar la mitad de la distancia.

Again, this takes a finite amount of time.

De nuevo, esto lleva un tiempo finito.

Once he gets there, he still needs to walk

Una vez que llega allí, tiene que caminar

half the distance that's left,

la mitad de la distancia que le queda,

which takes another finite amount of time.

lo cual lleva un tiempo finito.

This happens again and again and again.

Esto ocurre una y otra vez.

You can see that we can keep going like this forever,

Puede verse que podemos seguir así indefinidamente

dividing whatever distance is left

dividiendo la distancia que queda

into smaller and smaller pieces,

en distancias cada vez más pequeñas

each of which takes some finite time to traverse.

cada uno requiere un tiempo de recorrido.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Entonces, ¿cuánto tiempo tarda Zenón para llegar al parque?

Well, to find out, you need to add the times

Bueno, para averiguarlo, hay que sumar los tiempos

of each of the pieces of the journey.

de cada una de las etapas del viaje.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

El problema es que hay infinitas etapas en el viaje.

So, shouldn't the total time be infinity?

Entonces, ¿no debería ser infinito el tiempo total?

This argument, by the way, is completely general.

Este argumento, por cierto, es completamente general.

It says that traveling from any location to any other location

Dice que viajar de un lugar a otro lugar

should take an infinite amount of time.

debería llevar un tiempo infinito.

In other words, it says that all motion is impossible.

En otras palabras, dice que el movimiento es imposible.

This conclusion is clearly absurd,

Esta conclusión es claramente absurda

but where is the flaw in the logic?

pero, ¿dónde está el error de lógica?

To resolve the paradox,

Para resolver la paradoja

it helps to turn the story into a math problem.

ayuda transformar la historia en problema matemático.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Supongamos que la casa de Zenón está a 1,6 km del parque

and that Zeno walks at one mile per hour.

y que Zenón camina a 1,6 km por hora.

Common sense tells us that the time for the journey

El sentido común nos dice que el tiempo de viaje

should be one hour.

debería ser de una hora.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Pero veamos las cosas desde el punto de vista de Zenón

and divide up the journey into pieces.

y dividamos el viaje en etapas.

The first half of the journey takes half an hour,

La primera parte del viaje lleva media hora,

the next part takes quarter of an hour,

la siguiente lleva un cuarto de hora,

the third part takes an eighth of an hour,

la tercera lleva un octavo de hora,

and so on.

Summing up all these times,

etc.

Sumando todos estos tiempos,

we get a series that looks like this.

obtenemos una serie como esta.

"Now", Zeno might say,

"Ahora", podría decir Zenón,

"since there are infinitely many of terms

"dado que hay infinitos términos

on the right side of the equation,

a la derecha de la ecuación,

and each individual term is finite,

y que cada término es finito,

the sum should equal infinity, right?"

la suma debería ser infinita, ¿no?"

This is the problem with Zeno's argument.

Este es el problema del argumento de Zenón.

As mathematicians have since realized,

Como ya se han dado cuenta los matemáticos,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

es posible sumar infinitos términos de tamaño finito

and still get a finite answer.

y obtener una respuesta finita.

"How?" you ask.

"¿Cómo?", se preguntarán.

Well, let's think of it this way.

Bien, pensémoslo así.

Let's start with a square that has area of one meter.

Empecemos con un cuadrado cuya área es de un metro.

Now let's chop the square in half,

Ahora partamos el cuadro por la mitad,

and then chop the remaining half in half,

luego partamos la mitad restante por la mitad,

and so on.

y así siguiendo.

While we're doing this,

Conforme lo hacemos

let's keep track of the areas of the pieces.

sigamos la pista de las áreas de las etapas.

The first slice makes two parts,

La primera porción tiene dos partes,

each with an area of one-half

cada una con un área de 1/2.

The next slice divides one of those halves in half,

La siguiente porción divide una de ellas por la mitad,

and so on.

y así siguiendo.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Pero, no importa cuántas veces cortemos las cajas,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

la superficie total todavía es la suma de las áreas de todas las etapas.

Now you can see why we choose this particular way

Ahora podemos ver por qué elegimos esta forma particular

of cutting up the square.

de cortar el cuadrado.

We've obtained the same infinite series

Obtuvimos la misma serie infinita

as we had for the time of Zeno's journey.

que tuvimos en el tiempo del viaje de Zenón.

As we construct more and more blue pieces,

Conforme construimos más y más piezas azules,

to use the math jargon,

para usar jerga matemática,

as we take the limit as n tends to infinity,

conforme tomamos el límite cuando n tiende a infinito,

the entire square becomes covered with blue.

todo el cuadrado se cubre de azul.

But the area of the square is just one unit,

Pero el área del cuadrado es una unidad,

and so the infinite sum must equal one.

por eso la suma infinita debe dar 1.

Going back to Zeno's journey,

Volviendo al viaje de Zenón,

we can now see how how the paradox is resolved.

ahora podemos ver cómo se resuelve la paradoja.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

No sólo la serie infinita da un número finito como respuesta

but that finite answer is the same one

sino que el resultado es el mismo

that common sense tells us is true.

que indica el sentido común.

Zeno's journey takes one hour.

El viaje de Zenón lleva una hora.