What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Cos'è il paradosso della dicotomia di Zenone? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Traduttore: Jamila Al Ibrahim Revisore: augusto fazioli

This is Zeno of Elea,

Questo è Zenone di Elea,

an ancient Greek philosopher

un antico filosofo greco

famous for inventing a number of paradoxes,

famoso per aver inventato molti paradossi,

arguments that seem logical,

discorsi che sembrano illogici,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

le cui conclusioni sono assurde o contraddittorie.

For more than 2,000 years,

Per più di 2000 anni,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

gli enigmi complicati di Zenone hanno ispirato

mathematicians and philosophers

matematici e filosofi

to better understand the nature of infinity.

a comprendere meglio la natura dell'infinito.

One of the best known of Zeno's problems

Uno degli enigmi più conosciuti di Zenone

is called the dichotomy paradox,

è detto il paradosso della dicotomia,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

che in Greco antico significa "il paradosso della divisione in due parti".

It goes something like this:

Più o meno è cosi:

After a long day of sitting around, thinking,

dopo un lungo giorno passato seduto a contemplare,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zenone decide di camminare da casa sua al parco.

The fresh air clears his mind

L'aria fresca gli schiarisce la mente

and help him think better.

e lo aiuta a pensare meglio.

In order to get to the park,

Per arrivare al parco,

he first has to get half way to the park.

deve prima arrivare a metà strada dal parco.

This portion of his journey

Il tragitto del suo cammino

takes some finite amount of time.

richiede solo una quantità di tempo finita.

Once he gets to the halfway point,

Una volta arrivato a metà strada,

he needs to walk half the remaining distance.

deve camminare per il restante percorso.

Again, this takes a finite amount of time.

Di nuovo, ciò richiede una finita quantità di tempo.

Once he gets there, he still needs to walk

Una volta arrivato lì, deve ancora camminare

half the distance that's left,

metà del precorso rimasto,

which takes another finite amount of time.

che richiede di nuovo una quantità di tempo finita.

This happens again and again and again.

Ciò accade ancora, e poi ancora, e poi ancora.

You can see that we can keep going like this forever,

Si capisce che si può proseguire così per sempre,

dividing whatever distance is left

dividendo qualsiasi distanza rimasta

into smaller and smaller pieces,

in frammenti sempre più brevi,

each of which takes some finite time to traverse.

ognuno dei quali necessita una quantità di tempo finita per essere percorso.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Quindi, quanto ci metterà Zenone ad arrivare al parco?

Well, to find out, you need to add the times

Bè, per scoprirlo, si devono sommare tutti i tempi

of each of the pieces of the journey.

di ciascuna parte del tragitto.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Il problema è: esiste un numero infinito di queste parti.

So, shouldn't the total time be infinity?

Quindi, il totale non dovrebbe essere infinito?

This argument, by the way, is completely general.

A proposito, questo problema è completamente generale.

It says that traveling from any location to any other location

Dice che spostarsi da qualsiasi posto verso qualsiasi altro posto

should take an infinite amount of time.

dovrebbe richiedere una quantità di tempo infinita.

In other words, it says that all motion is impossible.

In altre parole, dice che il movimento non è possibile.

This conclusion is clearly absurd,

La conclusione è chiaramente assurda,

but where is the flaw in the logic?

ma dov'è la falla nel ragionamento logico?

To resolve the paradox,

Per risolvere il paradosso,

it helps to turn the story into a math problem.

bisogna tradurlo in un problema matematico.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Supponiamo che la casa di Zenone sia a un miglio dal parco

and that Zeno walks at one mile per hour.

e che Zenone cammini ad un miglio all'ora.

Common sense tells us that the time for the journey

Il buon senso ci dice che la durata del tragitto

should be one hour.

dovrebbe essere di un'ora.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Ma vediamo le cose dal punto di vista di Zenone

and divide up the journey into pieces.

e dividiamo il tragitto in parti.

The first half of the journey takes half an hour,

La prima metà del tragitto dura una mezz'ora,

the next part takes quarter of an hour,

la seconda dura un quarto d'ora,

the third part takes an eighth of an hour,

la terza dura un ottavo di un'ora,

and so on.

Summing up all these times,

e cosi via.

Facendo la somma di questi tempi

we get a series that looks like this.

abbiamo una serie come questa.

"Now", Zeno might say,

"Ora", Zenone potrebbe dire,

"since there are infinitely many of terms

"siccome vi sono infiniti termini dell'equazione

on the right side of the equation,

sulla parte destra dell'equazione stessa

and each individual term is finite,

e ognuno dei termini è finito

the sum should equal infinity, right?"

la loro somma dovrebbe essere infinita, giusto?"

This is the problem with Zeno's argument.

Questo è il problema del ragionamento di Zenone.

As mathematicians have since realized,

Come hanno compreso i matematici,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

si possono aggiungere un numero infinito di termini finiti

and still get a finite answer.

e ottenere un termine finito come risultato.

"How?" you ask.

"Come?" vi chiederete.

Well, let's think of it this way.

Pensiamola cosi.

Let's start with a square that has area of one meter.

Abbiamo un quadrato con un'area di un metro.

Now let's chop the square in half,

Ora, dividiamo il quadrato in due metà,

and then chop the remaining half in half,

e poi dividiamo la metà rimanente a metà

and so on.

e cosi via.

While we're doing this,

Mentre procediamo,

let's keep track of the areas of the pieces.

teniamo conto delle aree dei singoli pezzi.

The first slice makes two parts,

La prima divisione produce due parti

each with an area of one-half

ognuna delle quali ha un'area di un mezzo.

The next slice divides one of those halves in half,

La seguente, divide una delle due parti a metà,

and so on.

e cosi via.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Ma, non importa quante volte dividiamo le aree,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

l'area totale è ancora la somma delle aree di tutte le parti.

Now you can see why we choose this particular way

Ora capite perché abbiamo scelto questo particolare metodo

of cutting up the square.

per suddividere il quadrato.

We've obtained the same infinite series

Abbiamo ottenuto le medesime serie infinite

as we had for the time of Zeno's journey.

come nel caso del tragitto di Zenone.

As we construct more and more blue pieces,

Costruendo man mano un numero sempre maggiore di aree blu,

to use the math jargon,

in termini matematici,

as we take the limit as n tends to infinity,

considerando il limite di "n" tendente all'infinito,

the entire square becomes covered with blue.

il quadrato intero diventa ricoperto di colore blu.

But the area of the square is just one unit,

Ma l'area del quadrato è solo una unità,

and so the infinite sum must equal one.

e cosi la somma di infiniti deve essere uguale a uno.

Going back to Zeno's journey,

Tornando al tragitto di Zenone,

we can now see how how the paradox is resolved.

possiamo ora capire come risolvere il paradosso.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Non solo la somme di serie infinite produce una risposta finita,

but that finite answer is the same one

ma quella risposta finita è la stessa

that common sense tells us is true.

che il buon senso suggerisce essere vera.

Zeno's journey takes one hour.

Il tragitto di Zenone dura un'ora.