What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Какво е парадоксът с дихотомията на Зенон? - Колм Келхър

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Translator: Anton Hikov Reviewer: Yavor Ivanov

This is Zeno of Elea,

Това е Зенон от Елея,

an ancient Greek philosopher

древногръцки философ,

famous for inventing a number of paradoxes,

известен с изобретяването на редица парадокси,

arguments that seem logical,

аргументи, които изглеждат логични,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

но чието заключение е абсурдно или противоречиво.

For more than 2,000 years,

Повече от 2000 години,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

хитроумните загадки на Зенон вдъхновяват

mathematicians and philosophers

математици и философи

to better understand the nature of infinity.

да разбират по-добре природата на безкрайността.

One of the best known of Zeno's problems

Един от най-известните проблеми на Зенон

is called the dichotomy paradox,

се нарича парадоксът на дихотомията,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

което означава, "парадоксът на разделянето на две" на старогръцки.

It goes something like this:

Той гласи нещо от сорта на:

After a long day of sitting around, thinking,

След дълъг ден прекаран в застояване, мислейки,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Зенон решава да повърви от къщата си до парка.

The fresh air clears his mind

Свежият въздух избистря ума му

and help him think better.

и му помага да мисли по-добре.

In order to get to the park,

За да стигне до парка,

he first has to get half way to the park.

той първо трябва да извърви половината път до парка.

This portion of his journey

Тази част от пътуването му

takes some finite amount of time.

отнема някакъв ограничен период от време.

Once he gets to the halfway point,

След като стигне до средата на пътя,

he needs to walk half the remaining distance.

той трябва да извърви половината от останалото разстояние.

Again, this takes a finite amount of time.

Отново, това отнема един ограничен период от време.

Once he gets there, he still needs to walk

След като стигне до там, той все още трябва да извърви

half the distance that's left,

половината от разстоянието, което остава,

which takes another finite amount of time.

което отнема още един ограничен период от време.

This happens again and again and again.

Това се случва отново и отново, и отново.

You can see that we can keep going like this forever,

Можете да видите, че ние може да продължим да вървим по този начин завинаги,

dividing whatever distance is left

разделяйки каквото и разстояние е останало

into smaller and smaller pieces,

на все по-малки и по-малки части,

each of which takes some finite time to traverse.

всяка от които отнема крайно време за извървяване.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

И така, колко време отнема на Зенон да стигне до парка?

Well, to find out, you need to add the times

Ами за да разберем, трябва да добавим времената

of each of the pieces of the journey.

на всички отсечки от пътуването.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Проблемът е, че има безкрайно много от тези крайни по размер части.

So, shouldn't the total time be infinity?

Значи, не трябва ли общото време да бъде безкрайност?

This argument, by the way, is completely general.

Този аргумент, между другото, е съвсем общ.

It says that traveling from any location to any other location

Той казва, че пътуването от едно място, до всяко друго място

should take an infinite amount of time.

трябва да отнеме един безкраен период от време.

In other words, it says that all motion is impossible.

С други думи, той казва, че всяко движение е невъзможно.

This conclusion is clearly absurd,

Това заключение е очевидно абсурдно,

but where is the flaw in the logic?

но къде е недостатъкът в логиката?

To resolve the paradox,

За да разрешим парадокса,

it helps to turn the story into a math problem.

е от помощ да превърнем историята в математическа задача.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Нека да предположим, че къщата на Зенон е на 1 миля (1,6 км.) от парка,

and that Zeno walks at one mile per hour.

и че Зенон ходи с една миля на час.

Common sense tells us that the time for the journey

Нормалната логика ни казва, че времето за пътуване

should be one hour.

трябва да бъде един час.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Но, нека да погледнем нещата от гледна точка на Зенон

and divide up the journey into pieces.

и да разделим пътуването на части.

The first half of the journey takes half an hour,

Първата половина на пътуването отнема половин час,

the next part takes quarter of an hour,

следващата част е четвърт час,

the third part takes an eighth of an hour,

третата част отнема една осма от един час,

and so on.

Summing up all these times,

и така нататък.

Сумирайки всички тези времена,

we get a series that looks like this.

получаваме поредица, която изглежда така.

"Now", Zeno might say,

"Сега," Зенон може да каже,

"since there are infinitely many of terms

"тъй като има безкрайно много членове

on the right side of the equation,

от дясната страна на уравнението,

and each individual term is finite,

и всеки отделен член е ограничен,

the sum should equal infinity, right?"

сумата трябва да бъде безкрайност, нали?"

This is the problem with Zeno's argument.

Това е проблемът с аргумента на Зенон.

As mathematicians have since realized,

Както разбрали математиците оттогава,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

възможно е да добавите безкрайно много ограничени по размер членове

and still get a finite answer.

и пак да получите краен отговор.

"How?" you ask.

"И как?" може да попитате.

Well, let's think of it this way.

Добре, нека да помислим за това по следния начин.

Let's start with a square that has area of one meter.

Да започнем с квадрат, който има площ от един метър.

Now let's chop the square in half,

Сега нека да разделим квадрата на половина,

and then chop the remaining half in half,

и после да разделим останалата половина на половина,

and so on.

и така нататък.

While we're doing this,

Докато правим това,

let's keep track of the areas of the pieces.

нека си отбелязваме площите на частите.

The first slice makes two parts,

Първото разделяне образува две части,

each with an area of one-half

всяка с площ от една втора.

The next slice divides one of those halves in half,

Следващото разрязване разделя една от тези половини на половина,

and so on.

и така нататък.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Но, без значение колко пъти нарязваме квадратите,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

общата площ е все още сумата от площите на всички парчета.

Now you can see why we choose this particular way

Сега можете да видите защо избрахме този начин

of cutting up the square.

за нарязване на квадрата.

We've obtained the same infinite series

Ние получаваме същата безкрайна поредица,

as we had for the time of Zeno's journey.

като тази с времето за пътуването на Зенон.

As we construct more and more blue pieces,

Като конструираме все повече и повече сини парчета,

to use the math jargon,

ако използваме математическия жаргон,

as we take the limit as n tends to infinity,

като вземем границата, като n клони към безкрайност,

the entire square becomes covered with blue.

целия квадрат става покрит със синьо.

But the area of the square is just one unit,

Но площта на квадрата е само една единица,

and so the infinite sum must equal one.

и така безкрайната сума следва да се равнява на едно.

Going back to Zeno's journey,

Ако се върнем към пътуването на Зенон,

we can now see how how the paradox is resolved.

сега можем да видим как парадоксът е разрешен.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Не само, че сумата на безкрайната редица дава краен отговор,

but that finite answer is the same one

но този краен отговор е същият,

that common sense tells us is true.

който здравият разум ни казва, че е верен.

Zeno's journey takes one hour.

Пътешествието на Зенон отнема един час.