What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Nghịch lý lưỡng phân của Zeno là gì? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Translator: Hai Le Reviewer: An Nguyen Hoang

This is Zeno of Elea,

Đây là Zeno ở xứ Elea,

an ancient Greek philosopher

một nhà triết học Hy Lạp cổ đại

famous for inventing a number of paradoxes,

nổi tiếng vì đã đề ra rất nhiều những nghịch lý,

arguments that seem logical,

lý lẽ nghe thì tưởng chừng rất hợp lý,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

nhưng kết luận lại rất mâu thuẫn và vô lý.

For more than 2,000 years,

Hơn 2000 năm trước,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

câu đố kì lạ của Zeno đã tạo nên nguồn cảm hứng cho

mathematicians and philosophers

các nhà toán học và triết học

to better understand the nature of infinity.

hiểu thêm về bản chất của "infinity" (sự vô hạn).

One of the best known of Zeno's problems

Một trong những vấn đề nổi tiếng nhất Zeno nêu ra

is called the dichotomy paradox,

là "nghịch lý lưỡng phân", ("the dichotomy paradox")

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

trong tiếng Hy Lạp cổ có nghĩa là "nghịch lý của sự phân đôi"

It goes something like this:

Nó là như thế này:

After a long day of sitting around, thinking,

Sau một ngày dài ngồi một chỗ và suy nghĩ,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zeno quyết định đi bộ từ nhà của ông đến công viên.

The fresh air clears his mind

Không khí trong lành làm đầu óc của ông thoáng đãng

and help him think better.

và giúp ông suy nghĩ thấu đáo hơn.

In order to get to the park,

Để đến công viên,

he first has to get half way to the park.

trước tiên ông phải đi hết nửa đoạn đường đến đó.

This portion of his journey

Phần hành trình này

takes some finite amount of time.

tốn một khoảng thời gian nhất định.

Once he gets to the halfway point,

Khi ông đến được nửa đường,

he needs to walk half the remaining distance.

ông phải đi được nửa quãng đường còn lại.

Again, this takes a finite amount of time.

Một lần nữa, sẽ mất một khoảng thời gian hữu hạn nhất định.

Once he gets there, he still needs to walk

Khi ông đến được đó, ông lại phải đi bộ

half the distance that's left,

một nửa quãng đường còn lại,

which takes another finite amount of time.

lại tốn một lượng thời gian hữu hạn nhất định.

This happens again and again and again.

Cứ tiếp tục như thế mãi.

You can see that we can keep going like this forever,

Bạn có thể thấy rằng quá trình này sẽ diễn ra mãi mãi,

dividing whatever distance is left

chia đôi quãng đường còn lại

into smaller and smaller pieces,

thành từng phần nhỏ hơn và nhỏ hơn,

each of which takes some finite time to traverse.

mỗi phần lại tốn một khoảng thời gian hữu hạn nhất định.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Thế, Zeno mất bao lâu để đến được công viên?

Well, to find out, you need to add the times

Để tìm ra kết quả, bạn cần phải thêm thời gian

of each of the pieces of the journey.

cho từng quãng đường trong chuyến đi này.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Vấn đề là, có "vô hạn" những quãng đường "hữu hạn".

So, shouldn't the total time be infinity?

Bởi vậy, phải chăng tổng thời gian là vô hạn?

This argument, by the way, is completely general.

Hơn nữa, lý lẽ này hoàn toàn tổng quát.

It says that traveling from any location to any other location

Nó nói rằng để đi từ địa điểm này đến một địa điểm khác

should take an infinite amount of time.

ta sẽ phải tốn một lượng "vô hạn" thời gian.

In other words, it says that all motion is impossible.

Nói một cách khác, sự di chuyển này là bất khả thi.

This conclusion is clearly absurd,

Câu kết luận rõ ràng là vô lý,

but where is the flaw in the logic?

nhưng đâu là sai lầm trong lý luận này?

To resolve the paradox,

Nhằm giải quyết nghịch lý này,

it helps to turn the story into a math problem.

ta cần phải biến câu chuyện thành một bài toán.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Giả sử quãng đường từ nhà Zeno đến công viên là 1 dặm

and that Zeno walks at one mile per hour.

và ông đi được 1 dặm trong 1 giờ.

Common sense tells us that the time for the journey

Lẽ tự nhiên ta biết rằng thời gian của chuyến đi này

should be one hour.

là 1 tiếng.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Nhưng, hãy xem xét mọi thứ từ điểm nhìn của Zeno

and divide up the journey into pieces.

và phân chia chuyến đi ra từng phần.

The first half of the journey takes half an hour,

Nửa đầu chuyến đi tốn "một nửa" giờ đồng hồ,

the next part takes quarter of an hour,

phần tiếp theo mất một phần tư giờ,

the third part takes an eighth of an hour,

phần thứ ba mất một phần tám giờ,

and so on.

Summing up all these times,

và cứ thế.

Cộng tất cả quãng thời gian này,

we get a series that looks like this.

ta sẽ có được một chuỗi tổng trông như thế này.

"Now", Zeno might say,

"Bây giờ", Zeno có lẽ đã nói,

"since there are infinitely many of terms

"vì ở đây có vô hạn số hạng

on the right side of the equation,

ở phía bên phải của phương trình,

and each individual term is finite,

và từng hạng tử là hữu hạn,

the sum should equal infinity, right?"

tổng tất nhiên phải bằng vô hạn?"

This is the problem with Zeno's argument.

Đây chính là vấn đề trong lý lẽ của Zeno.

As mathematicians have since realized,

Các nhà toán học đã nhận ra rằng:

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

Hoàn toàn có thể cộng vô số số hạng có giá trị hữu hạn

and still get a finite answer.

và vẫn nhận được một kết quả hữu hạn.

"How?" you ask.

"Bằng cách nào?", bạn thắc mắc.

Well, let's think of it this way.

Để hiểu được, hãy suy nghĩ theo cách như sau.

Let's start with a square that has area of one meter.

Bắt đầu với một hình vuông có diện tích 1 mét vuông.

Now let's chop the square in half,

Bây giờ, chẻ đôi hình vuông ra,

and then chop the remaining half in half,

và lại chẻ đôi một nửa đó,

and so on.

và tiếp tục.

While we're doing this,

Khi chúng ta làm như vậy,

let's keep track of the areas of the pieces.

Hãy ghi lại diện tích của từng mảnh.

The first slice makes two parts,

Lần chẻ đầu tiên cho bạn hai phần,

each with an area of one-half

mỗi phần "1/2" mét vuông.

The next slice divides one of those halves in half,

Lần chẻ tiếp theo, một trong hai phần đó lại bị chia đôi,

and so on.

và cứ thế tiếp tục.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Nhưng, dù ta có chẻ đôi bao nhiều lần đi chăng nữa,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

tổng diện tích của các mảnh ấy vẫn là diện tích của hình vuông ban đầu.

Now you can see why we choose this particular way

Bây giờ, các bạn có thể hiểu tại sao ta lại chọn cách này

of cutting up the square.

để cắt hình vuông ấy.

We've obtained the same infinite series

Ta vừa thu được cùng một chuỗi vô hạn

as we had for the time of Zeno's journey.

như chuỗi thời gian của chuyến đi của Zeno.

As we construct more and more blue pieces,

Khi ta tạo ra càng nhiều mảnh màu xanh,

to use the math jargon,

theo ngôn ngữ toán học,

as we take the limit as n tends to infinity,

cũng giống như việc ta cho n tiến tới vô hạn,

the entire square becomes covered with blue.

cả hình vuông được biến thành màu xanh.

But the area of the square is just one unit,

Nhưng vì diện tích của hình vuông chỉ là 1,

and so the infinite sum must equal one.

nên cái tổng vô hạn này cũng phải bằng 1.

Going back to Zeno's journey,

Trở lại với chuyến đi của Zeno,

we can now see how how the paradox is resolved.

ta sẽ thấy nghịch lý được giải quyết thế nào.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Không những chuỗi vô hạn có tổng mang giá trị là một số hữu hạn,

but that finite answer is the same one

mà giá trị hữu hạn ấy còn giống hệt như những gì

that common sense tells us is true.

theo thông lý, chúng ta tin là đúng.

Zeno's journey takes one hour.

Chuyến đi của Zeno mất 1 tiếng đồng hồ.