What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

O que é o Paradoxo da Dicotomia de Zenão? — Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Tradutor: Sara Oliveira Revisora: Isabel Vaz Belchior

This is Zeno of Elea,

Este é Zenão de Eleia,

an ancient Greek philosopher

um antigo filósofo grego

famous for inventing a number of paradoxes,

famoso por inventar uma série de paradoxos:

arguments that seem logical,

argumentos que parecem lógicos,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

mas cuja conclusão é absurda ou contraditória.

For more than 2,000 years,

Durante mais de 2000 anos,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

os quebra-cabeças complexos de Zenão

mathematicians and philosophers

inspiraram matemáticos e filósofos

to better understand the nature of infinity.

a compreender melhor a natureza do infinito.

One of the best known of Zeno's problems

Um dos problemas mais conhecidos de Zenão

is called the dichotomy paradox,

é o chamado paradoxo da dicotomia,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

que, em grego antigo, quer dizer "o paradoxo de partir em dois".

It goes something like this:

É algo deste género:

After a long day of sitting around, thinking,

Depois de um longo dia a pensar,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zenão decide ir de sua casa ao parque.

The fresh air clears his mind

O ar fresco ajuda-o a limpar a mente e a pensar melhor.

and help him think better.

In order to get to the park,

Para chegar ao parque,

he first has to get half way to the park.

primeiro tem que chegar a meio do caminho.

This portion of his journey

Esta parte da sua viagem demora um tempo finito

takes some finite amount of time.

Once he gets to the halfway point,

Quando ele chega ao meio,

he needs to walk half the remaining distance.

tem que caminhar metade da restante distância.

Again, this takes a finite amount of time.

Novamente, isto demora um tempo finito.

Once he gets there, he still needs to walk

Quando chega aí, ainda tem que caminhar

half the distance that's left,

metade da restante distância,

which takes another finite amount of time.

o que volta a demorar um período finito de tempo.

This happens again and again and again.

Isto repete-se uma e outra e outra vez.

You can see that we can keep going like this forever,

Como podem ver, podemos continuar isto para sempre,

dividing whatever distance is left

dividindo a distância que sobrar

into smaller and smaller pieces,

em pedaços cada vez mais pequenos

each of which takes some finite time to traverse.

sendo que cada um demora um tempo finito a ser percorrido.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Então, quando tempo demora Zenão a chegar ao parque?

Well, to find out, you need to add the times

Para descobrirmos, temos que adicionar os tempos

of each of the pieces of the journey.

de cada uma das partes da viagem.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

O problema é que há infinitas partes de tempo finito.

So, shouldn't the total time be infinity?

Portanto, o total não deveria ser infinito?

This argument, by the way, is completely general.

Já agora, este argumento é completamente geral.

It says that traveling from any location to any other location

Diz que qualquer viagem de um ponto para outro

should take an infinite amount of time.

deveria demorar um tempo infinito.

In other words, it says that all motion is impossible.

Por outras palavras, diz que qualquer movimento é impossível.

This conclusion is clearly absurd,

Esta conclusão é claramente absurda,

but where is the flaw in the logic?

mas onde é que está o erro na lógica?

To resolve the paradox,

it helps to turn the story into a math problem.

Para resolver o paradoxo,

vamos transformar a história num problema matemático.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Vamos supor que a casa de Zenão está a um quilómetro do parque

and that Zeno walks at one mile per hour.

e que Zenão anda a um quilómetro por hora.

Common sense tells us that the time for the journey

O senso comum diz-nos que o tempo da viagem

should be one hour.

deverá ser de uma hora.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Mas vamos ver a questão do ponto de vista de Zenão

and divide up the journey into pieces.

e dividir a viagem em partes mais pequenas.

The first half of the journey takes half an hour,

A primeira metade da viagem demora meia hora,

the next part takes quarter of an hour,

a parte seguinte demora um quarto de hora,

the third part takes an eighth of an hour,

a terceira demora um oitavo de uma hora, e assim por diante.

and so on.

Summing up all these times,

Somando todos estes tempos,

we get a series that looks like this.

obtemos uma série com este aspeto.

"Now", Zeno might say,

"Agora"– diria Zenão –

"since there are infinitely many of terms

"como o número de termos é infinito do lado direito da equação,

on the right side of the equation,

and each individual term is finite,

"e cada termo individual é finito,

the sum should equal infinity, right?"

"a soma deveria ser igual ao infinito, certo?"

This is the problem with Zeno's argument.

Este é o problema com o argumento de Zenão.

As mathematicians have since realized,

Como os matemáticos vieram a descobrir,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

é possível somar um número infinito de termos finitos

and still get a finite answer.

e, mesmo assim, obter uma resposta finita.

"How?" you ask.

Well, let's think of it this way.

"Como assim?" — perguntam vocês.

Vamos ver as coisas desta forma.

Let's start with a square that has area of one meter.

Vamos começar com um quadrado com um metro de área.

Now let's chop the square in half,

Agora vamos partir o quadrado ao meio,

and then chop the remaining half in half,

e depois dividir o restante ao meio, e assim por diante.

and so on.

While we're doing this,

Enquanto fazemos isto,

let's keep track of the areas of the pieces.

vamos anotar as áreas das peças.

The first slice makes two parts,

O primeiro corte divide em duas partes,

each with an area of one-half

cada uma com uma área de uma metade.

The next slice divides one of those halves in half,

O próximo corte divide uma dessas metades em metade,

and so on.

e assim por diante.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Mas, por mais vezes que dividamos as caixas,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

a área total é sempre a soma de todas as peças.

Now you can see why we choose this particular way

Já percebem porque é que escolhemos esta forma específica de cortar o quadrado.

of cutting up the square.

We've obtained the same infinite series

Obtemos a mesma série infinita

as we had for the time of Zeno's journey.

que tínhamos com o tempo da viagem de Zenão.

As we construct more and more blue pieces,

Ao construirmos mais e mais peças azuis,

to use the math jargon,

e usando o jargão matemático,

as we take the limit as n tends to infinity,

quando chegamos ao limite com "n" a tender para o infinito,

the entire square becomes covered with blue.

todo o quadrado fica coberto de azul.

But the area of the square is just one unit,

Mas a área do quadrado é de apenas uma unidade,

and so the infinite sum must equal one.

e por isso a soma do infinito tem que ser igual a um.

Going back to Zeno's journey,

Voltando à viagem de Zenão,

we can now see how how the paradox is resolved.

podemos ver como o paradoxo é resolvido.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Não só obtemos uma resposta finita da soma da série infinita,

but that finite answer is the same one

como essa resposta finita é a mesma

that common sense tells us is true.

que o senso comum nos dá.

Zeno's journey takes one hour.

A viagem do Zenão demora uma hora.