What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

Quel est le paradoxe de la dichotomie de Zénon ? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Traducteur: Elisabeth Buffard Relecteur: Els De Keyser

This is Zeno of Elea,

Voici Zénon d'Élée,

an ancient Greek philosopher

un philosophe grec

famous for inventing a number of paradoxes,

célèbre pour avoir inventé un certain nombre de paradoxes,

arguments that seem logical,

des arguments qui semblent logiques,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

mais dont la conclusion est absurde ou contradictoire.

For more than 2,000 years,

Depuis plus de 2 000 ans,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

les énigmes hallucinantes de Zénon ont inspiré

mathematicians and philosophers

mathématiciens et philosophes

to better understand the nature of infinity.

à mieux comprendre la nature de l'infini.

One of the best known of Zeno's problems

L'un des plus connus des problèmes de Zénon

is called the dichotomy paradox,

on appelle le paradoxe de la dichotomie,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

ce qui signifie, « le paradoxe de couper en deux » en grec ancien.

It goes something like this:

Il dit à peu près ceci :

After a long day of sitting around, thinking,

Après une longue journée assis à réfléchir,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zénon décide de marcher de sa maison jusqu'au parc.

The fresh air clears his mind

L'air frais clarifie son esprit

and help him think better.

et l'aide à mieux réfléchir.

In order to get to the park,

Pour accéder au parc,

he first has to get half way to the park.

il doit d'abord arriver à mi-chemin du parc.

This portion of his journey

Cette partie de son trajet

takes some finite amount of time.

prend un certain laps de temps.

Once he gets to the halfway point,

Une fois qu'il arrive à mi-chemin,

he needs to walk half the remaining distance.

il a besoin de parcourir la moitié restante de la distance.

Again, this takes a finite amount of time.

Encore une fois, cela prend un laps de temps.

Once he gets there, he still needs to walk

Une fois qu'il y arrive, il a encore besoin de parcourir

half the distance that's left,

la moitié de la distance qui reste,

which takes another finite amount of time.

qui prend un autre laps de temps.

This happens again and again and again.

Cela se produit encore et encore et encore.

You can see that we can keep going like this forever,

Vous pouvez voir que nous pouvons continuer comme ça à l'infini,

dividing whatever distance is left

divisant la distance restante quelle qu'elle soit

into smaller and smaller pieces,

en de plus en plus petits bouts,

each of which takes some finite time to traverse.

chacun prenant un laps de temps à traverser.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Alors, combien de temps faut-il à Zénon pour rejoindre le parc ?

Well, to find out, you need to add the times

Eh bien, pour le savoir, vous devez additionner les temps

of each of the pieces of the journey.

de chacun des bouts du trajet.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

Le problème est qu'il y a une infinité de ces bouts de taille finie.

So, shouldn't the total time be infinity?

Alors, la durée totale ne doit-elle pas être infinie ?

This argument, by the way, is completely general.

Cet argument, d'ailleurs, est complètement général.

It says that traveling from any location to any other location

Il dit que se déplacer d'un endroit quelconque à un autre endroit quelconque

should take an infinite amount of time.

devrait prendre un laps de temps infini.

In other words, it says that all motion is impossible.

En d'autres termes, il dit que tout mouvement est impossible.

This conclusion is clearly absurd,

Cette conclusion est manifestement absurde,

but where is the flaw in the logic?

mais où est la faille dans la logique ?

To resolve the paradox,

Pour résoudre le paradoxe,

it helps to turn the story into a math problem.

il est utile de transformer l'histoire en un problème de mathématiques.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Supposons que la maison de Zénon est à 1,6 km du parc

and that Zeno walks at one mile per hour.

et que Zénon marche à 1,6 km/h.

Common sense tells us that the time for the journey

Le bon sens nous dit que le temps pour le trajet

should be one hour.

devrait être une heure.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Mais, regardons les choses du point de vue de Zénon

and divide up the journey into pieces.

et divisons le trajet en bouts.

The first half of the journey takes half an hour,

La première moitié du trajet prend une demi-heure,

the next part takes quarter of an hour,

la partie suivante prend un quart d'heure,

the third part takes an eighth of an hour,

la troisième partie prend un huitième d'une heure,

and so on.

Summing up all these times,

et ainsi de suite.

Si on récapitule tous ces temps,

we get a series that looks like this.

on obtient une série qui ressemble à ceci.

"Now", Zeno might say,

« Maintenant », pourrait dire Zénon,

"since there are infinitely many of terms

« puisqu'il y a une infinité de termes

on the right side of the equation,

du côté droit de l'équation,

and each individual term is finite,

et chaque terme individuel est fini,

the sum should equal infinity, right?"

la somme doit être égale à l'infini, pas vrai ? »

This is the problem with Zeno's argument.

C'est le problème avec l'argument de Zénon.

As mathematicians have since realized,

Comme les mathématiciens s'en sont rendu compte depuis,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

il est possible d'ajouter à l'infini de nombreux termes de taille finie

and still get a finite answer.

et toujours obtenir une réponse finie.

"How?" you ask.

« Comment ? » demandez-vous.

Well, let's think of it this way.

Eh bien, réfléchissons-y de la manière suivante.

Let's start with a square that has area of one meter.

Commençons par un carré qui a une surface d'un mètre.

Now let's chop the square in half,

Maintenant coupons le carré en deux,

and then chop the remaining half in half,

et puis coupez l'autre moitié en deux,

and so on.

et ainsi de suite.

While we're doing this,

Alors que nous faisons ça,

let's keep track of the areas of the pieces.

gardons une trace des surfaces des bouts.

The first slice makes two parts,

La première tranche crée deux parties,

each with an area of one-half

chacune d'une superficie de moitié.

The next slice divides one of those halves in half,

La tranche suivante divise une de ces moitiés en deux,

and so on.

et ainsi de suite.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Mais, peu importe combien de fois nous coupons les boîtes,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

la superficie totale est toujours la somme des surfaces de tous les bouts.

Now you can see why we choose this particular way

Maintenant vous pouvez voir pourquoi nous avons choisi cette façon particulière

of cutting up the square.

de couper le carré.

We've obtained the same infinite series

Nous avons obtenu la même série infinie

as we had for the time of Zeno's journey.

que pour le temps de trajet de Zénon.

As we construct more and more blue pieces,

Quand nous construisons de plus en plus de bouts bleus,

to use the math jargon,

pour utiliser le jargon des mathématiques,

as we take the limit as n tends to infinity,

quand nous prenons la limite où n tend vers l'infini,

the entire square becomes covered with blue.

le carré entier est recouvert de bleu.

But the area of the square is just one unit,

Mais la surface du carré est une seule unité,

and so the infinite sum must equal one.

donc la somme infinie doit être égale à un.

Going back to Zeno's journey,

Pour en revenir au trajet de Zénon,

we can now see how how the paradox is resolved.

nous pouvons maintenant voir comment le paradoxe est résolu.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Non seulement la somme de la série infinie aboutit à une réponse finie,

but that finite answer is the same one

mais cette réponse finie est la même que celle

that common sense tells us is true.

que le bon sens nous dit vraie.

Zeno's journey takes one hour.

Le trajet de Zénon prend une heure.