What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

O que é o Paradoxo da Dicotomia, de Zenão? - Colm Kelleher

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

Tradutor: Leonardo Silva Revisor: Isabel Villan

This is Zeno of Elea,

Este é Zenão de Eleia,

an ancient Greek philosopher

um filósofo da Grécia Antiga,

famous for inventing a number of paradoxes,

famoso por inventar alguns paradoxos,

arguments that seem logical,

argumentos que parecem lógicos,

but whose conclusion is absurd or contradictory.

mas que chegam a conclusões absurdas ou contraditórias.

For more than 2,000 years,

Por mais de dois mil anos,

Zeno's mind-bending riddles have inspired

os complexos enigmas de Zenão inspiraram

mathematicians and philosophers

matemáticos e filósofos

to better understand the nature of infinity.

a tentar compreender melhor a natureza do infinito.

One of the best known of Zeno's problems

Um dos enigmas mais conhecidos de Zenão

is called the dichotomy paradox,

é chamado de paradoxo da dicotomia,

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

que significa "o paradoxo da divisão em duas partes", grego antigo.

It goes something like this:

É mais ou menos assim:

After a long day of sitting around, thinking,

Depois de um longo dia sentado, pensando,

Zeno decides to walk from his house to the park.

Zenão decide caminhar de sua casa até o parque.

The fresh air clears his mind

O ar fresco clareia sua mente

and help him think better.

e o ajuda a pensar melhor.

In order to get to the park,

Para conseguir chegar ao parque,

he first has to get half way to the park.

ele precisa primeiro caminhar metade do caminho até lá.

This portion of his journey

Essa parte de sua viagem

takes some finite amount of time.

leva um período de tempo finito.

Once he gets to the halfway point,

Quando ele chega à metade do caminho,

he needs to walk half the remaining distance.

ele precisa caminhar metade da distância que falta.

Again, this takes a finite amount of time.

Novamente, isso leva um período de tempo finito.

Once he gets there, he still needs to walk

Quando terminar, ainda vai precisa caminhar

half the distance that's left,

metade da distância que sobrou,

which takes another finite amount of time.

o que leva mais um período de tempo finito.

This happens again and again and again.

E assim sucessivamente.

You can see that we can keep going like this forever,

Veja que podemos continuar eternamente fazendo isso,

dividing whatever distance is left

dividindo seja qual for a distância que faltar

into smaller and smaller pieces,

em pedaços cada vez menores,

each of which takes some finite time to traverse.

cada qual levando um período de tempo finito para ser percorrido.

So, how long does it take Zeno to get to the park?

Então, quanto tempo Zenão levou para chegar ao parque?

Well, to find out, you need to add the times

Bem, para descobrir, é preciso somar os períodos

of each of the pieces of the journey.

de cada um dos pedaços da viagem.

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

O problema é que existe uma infinidade desses pedaços finitos.

So, shouldn't the total time be infinity?

O tempo total não deveria, então, ser infinito?

This argument, by the way, is completely general.

Essa argumentação, a propósito, é completamente vaga.

It says that traveling from any location to any other location

Ela afirma que o percurso de um local a qualquer outro

should take an infinite amount of time.

leva um período de tempo igual ao infinito.

In other words, it says that all motion is impossible.

Ou seja, ela afirma que é impossível concluir o percurso inteiro.

This conclusion is clearly absurd,

Essa conclusão é obviamente absurda,

but where is the flaw in the logic?

mas onde está a falha da lógica?

To resolve the paradox,

Para resolver esse paradoxo,

it helps to turn the story into a math problem.

é preciso transformar essa história em uma equação matemática.

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

Vamos supor que a casa de Zenão fique a 1.6 km do parque

and that Zeno walks at one mile per hour.

e que Zenão caminhe a 1.6 km por hora.

Common sense tells us that the time for the journey

Todos podemos naturalmente concluir que essa viagem

should be one hour.

deveria durar uma hora.

But, let's look at things from Zeno's point of view

Mas vamos analisar as coisas sob a ótica de Zenão

and divide up the journey into pieces.

e dividir essa viagem em pedaços.

The first half of the journey takes half an hour,

A primeira metade da viagem leva meia hora,

the next part takes quarter of an hour,

a próxima parte leva 15 minutos,

the third part takes an eighth of an hour,

a terceira parte leva 7.5 minutos,

and so on.

Summing up all these times,

e por aí vai.

Somando todos esses intervalos,

we get a series that looks like this.

chegamos a um total parecido com isso.

"Now", Zeno might say,

"Agora", Zenão talvez diga,

"since there are infinitely many of terms

"uma vez que existem muitos termos

on the right side of the equation,

do lado direito da equação,

and each individual term is finite,

e cada termo individual é finito,

the sum should equal infinity, right?"

a soma deveria ser igual ao infinito, correto?"

This is the problem with Zeno's argument.

Esse é o problema da argumentação de Zenão.

As mathematicians have since realized,

Como os matemáticos perceberam,

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

é possível somar uma quantidade infinita de termos finitos

and still get a finite answer.

e, ainda assim, obter uma resposta finita.

"How?" you ask.

"Como?", você se pergunta.

Well, let's think of it this way.

Bem, vamos pensar assim.

Let's start with a square that has area of one meter.

Vamos começar com um quadrado que possui uma área de 1 metro.

Now let's chop the square in half,

Agora, vamos cortar o quadrado ao meio,

and then chop the remaining half in half,

e cortar uma das partes ao meio,

and so on.

e assim por diante.

While we're doing this,

Enquanto estamos fazendo isso,

let's keep track of the areas of the pieces.

não vamos perder de vista as áreas dos pedaços.

The first slice makes two parts,

O primeiro corte gera duas partes,

each with an area of one-half

cada uma com a área de meio metro.

The next slice divides one of those halves in half,

O próximo corte divide uma dessas partes pela metade,

and so on.

e por aí vai.

But, no matter how many times we slice up the boxes,

Mas, não importa quantas vezes cortemos os quadrados,

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

a área total ainda é a soma das áreas de todas as partes.

Now you can see why we choose this particular way

Agora é possível entender por que escolhemos essa maneira

of cutting up the square.

de cortar o quadrado.

We've obtained the same infinite series

Obtivemos a mesma soma infinita

as we had for the time of Zeno's journey.

a que chegamos com a viagem de Zenão.

As we construct more and more blue pieces,

Ao criarmos cada vez mais partes azuis,

to use the math jargon,

(para sermos didáticos),

as we take the limit as n tends to infinity,

admitindo um limite onde "n" tende ao infinito,

the entire square becomes covered with blue.

teremos um quadrado inteiro de frações.

But the area of the square is just one unit,

Mas a área do quadrado é apenas uma,

and so the infinite sum must equal one.

e por isso a soma infinita deve ser igual a 1.

Going back to Zeno's journey,

Voltando à viagem de Zenão,

we can now see how how the paradox is resolved.

podemos ver como esse paradoxo é resolvido.

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

Essa soma infinita não só resulta em uma resposta finita,

but that finite answer is the same one

como essa resposta finita é igual

that common sense tells us is true.

ao que o bom senso nos sugere.

Zeno's journey takes one hour.

A viagem de Zenão leva uma hora.