What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher

ゼノンの二分法のパラドクスとは？ ― コルム・ケレハー

Translator: Andrea McDonough Reviewer: Bedirhan Cinar

翻訳: Moe Shoji 校正: Tomoyuki Suzuki

This is Zeno of Elea,

こちらはエレア派のゼノンです

an ancient Greek philosopher

古代ギリシャの哲学者で

famous for inventing a number of paradoxes,

多くのパラドクスを生み出したことで 知られています

arguments that seem logical,

一見 論理的なように思えても

but whose conclusion is absurd or contradictory.

導かれる結論が非合理的であるか 矛盾するものです

For more than 2,000 years,

２千年以上もの間

Zeno's mind-bending riddles have inspired

ゼノンの難解な命題は

mathematicians and philosophers

数学者や哲学者が 無限の性質についての

to better understand the nature of infinity.

理解を深めるのに役立ってきました

One of the best known of Zeno's problems

ゼノンの立てた問いの 最も有名なもののひとつは

is called the dichotomy paradox,

二分法のパラドクスです

which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek.

古代ギリシャ語で 「２つに分けるパラドクス」の意味です

It goes something like this:

これは次のようなものです

After a long day of sitting around, thinking,

一日中 座って 思索にふけっていたので

Zeno decides to walk from his house to the park.

ゼノンは家から公園へ 散歩に行くことにしました

The fresh air clears his mind

新鮮な空気でのおかげで 頭がすっきりし

and help him think better.

思考に役立つからです

In order to get to the park,

公園にたどりつくには

he first has to get half way to the park.

まずは公園まで半分の所まで 行かねばなりません

This portion of his journey

この部分の移動には

takes some finite amount of time.

有限の時間がかかります

Once he gets to the halfway point,

半分の地点に着いたら

he needs to walk half the remaining distance.

残りの距離の半分を 進まねばなりません

Again, this takes a finite amount of time.

これにも 有限の時間がかかります

Once he gets there, he still needs to walk

そこまで行ったら 残りのさらに半分の距離を

half the distance that's left,

歩かねばなりません

which takes another finite amount of time.

これにも有限の時間がかかります

This happens again and again and again.

これが何度も繰り返し起こります

You can see that we can keep going like this forever,

これは永遠に繰り返されるのが お分かりですね

dividing whatever distance is left

残りの距離をどんどん

into smaller and smaller pieces,

小さく分割していくと

each of which takes some finite time to traverse.

どの部分を移動するにも 有限の時間がかかります

So, how long does it take Zeno to get to the park?

では 公園に着くまでには どれ位の時間がかかるでしょう？

Well, to find out, you need to add the times

それを知るためには それぞれの区間にかかる時間を

of each of the pieces of the journey.

すべて足す必要があります

The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces.

問題は 有限の大きさの部分が 無限に存在するということです

So, shouldn't the total time be infinity?

では 全体でかかる時間は 無限になるのでしょうか？

This argument, by the way, is completely general.

とはいえ この議論は まったく大雑把なものです

It says that traveling from any location to any other location

ある一点から 別の一点までの移動には

should take an infinite amount of time.

無限の時間がかかると言っているのです

In other words, it says that all motion is impossible.

つまり あらゆる運動は 不可能だということです

This conclusion is clearly absurd,

この結論は明らかに 理屈に合いませんが

but where is the flaw in the logic?

この論理のどこに 欠陥があるのでしょう？

To resolve the paradox,

このパラドクスを解明するには

it helps to turn the story into a math problem.

このお話を数学の問いに 変換するといいでしょう

Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park

仮に ゼノンの家が公園から １マイル離れており

and that Zeno walks at one mile per hour.

ゼノンは時速１マイルで歩くとしましょう

Common sense tells us that the time for the journey

常識的に考えれば 移動にかかる時間は

should be one hour.

１時間のはずです

But, let's look at things from Zeno's point of view

しかし ゼノンの視点から考えて

and divide up the journey into pieces.

移動距離を分割してみましょう

The first half of the journey takes half an hour,

最初の半分の距離に かかる時間は30分

the next part takes quarter of an hour,

次の部分は15分

the third part takes an eighth of an hour,

その次の部分は7.5分

and so on.

Summing up all these times,

といった具合です

これらの時間をすべて足すと

we get a series that looks like this.

このような式になるはずです

"Now", Zeno might say,

ゼノンはこう言うかもしれません

"since there are infinitely many of terms

「さて 式の右辺には 無限の数の

on the right side of the equation,

数字が続き

and each individual term is finite,

それぞれの数字は有限であるから

the sum should equal infinity, right?"

その総和は無限なはずだろう？」と

This is the problem with Zeno's argument.

これがゼノンの議論における問題です

As mathematicians have since realized,

数学者がのちに 発見したところによると

it is possible to add up infinitely many finite-sized terms

有限の数を無限に足し続けて

and still get a finite answer.

有限の数を導くことは可能なのです

"How?" you ask.

どうしてでしょう？

Well, let's think of it this way.

次のように考えてみてください

Let's start with a square that has area of one meter.

面積が１平方メートルの 四角形を考えてみましょう

Now let's chop the square in half,

この四角形を半分に分割して

and then chop the remaining half in half,

半分をさらに半分にと

and so on.

続けていきます

While we're doing this,

これを続ける一方で

let's keep track of the areas of the pieces.

各部分の総面積を 見失わないようにしましょう

The first slice makes two parts,

最初の分割では ２つになり

each with an area of one-half

それぞれが半分の面積です

The next slice divides one of those halves in half,

次の分割では 半分をさらに半分にし

and so on.

これが続いていきます

But, no matter how many times we slice up the boxes,

でも 何回四角形を 分割したとしても

the total area is still the sum of the areas of all the pieces.

総和はやはり すべての部分の総和です

Now you can see why we choose this particular way

どうして このように 四角形を切ることにしたのか

of cutting up the square.

もう おわかりですね

We've obtained the same infinite series

ゼノンの移動時間と同じような

as we had for the time of Zeno's journey.

無数の四角形が得られるからです

As we construct more and more blue pieces,

青い四角形が増えるにつれて

to use the math jargon,

数学用語で言うなれば

as we take the limit as n tends to infinity,

分割の回数である n が 無限大に近づくにつれて

the entire square becomes covered with blue.

四角形全体が青色になっていきます

But the area of the square is just one unit,

ですが 四角形の面積は ちょうど１ですから

and so the infinite sum must equal one.

この無限の総和は１であるはずです

Going back to Zeno's journey,

ゼノンに話を戻しましょう

we can now see how how the paradox is resolved.

もう パラドクスの解明方法が わかりましたね

Not only does the infinite series sum to a finite answer,

無限に続く数の総和が 有限の数であるだけでなく

but that finite answer is the same one

その有限の数というのは

that common sense tells us is true.

常識的な答えと同じなのです

Zeno's journey takes one hour.

ゼノンの移動には１時間かかるのです