What is a vector? - David Huynh

Что такое вектор? — Дэвид Хьюн

Переводчик: Елена Целлер Редактор: Péter Pallós

Physicists,

Физиков,

air traffic controllers,

авиадиспетчеров

and video game creators

и создателей видеоигр

all have at least one thing in common:

объединяет по крайней мере одна вещь —

vectors.

векторы.

What exactly are they, and why do they matter?

Чем они на самом деле являются и почему так важны?

To answer, we first need to understand scalars.

Чтобы дать ответ, нужно прежде всего изучить скаляры.

A scalar is a quantity with magnitude.

Скаляр — это показатель, обозначающий величину.

It tells us how much of something there is.

Он показывает нам количество чего-либо.

The distance between you and a bench,

Расстояние между тобой и скамейкой,

and the volume and temperature of the beverage in your cup

объём и температуру напитка в твоей чашке

are all described by scalars.

можно описать скалярами.

Vector quantities also have a magnitude plus an extra piece of information,

У векторов, кроме величины, есть ещё один показатель —

direction.

направление.

To navigate to your bench,

Чтобы добраться до скамейки,

you need to know how far away it is and in what direction,

вам нужно знать, как далеко и в какой стороне она находится;

not just the distance, but the displacement.

не только расстояние, но и её точное положение.

What makes vectors special and useful in all sorts of fields

Что делает векторы особенными и полезными во множестве сфер,

is that they don't change based on perspective

так это то, что они не меняются в зависимости от угла зрения,

but remain invariant to the coordinate system.

оставаясь неизменными в любой системе координат.

What does that mean?

Что это значит?

Let's say you and a friend are moving your tent.

Представим, что вы с другом двигаете палатку.

You stand on opposite sides so you're facing in opposite directions.

Вы стои́те с разных сторон, глядя в противоположных направлениях.

Your friend moves two steps to the right and three steps forward

Ваш друг делает два шага вправо и три вперёд,

while you move two steps to the left and three steps back.

в то время как вы — два влево и три назад.

But even though it seems like you're moving differently,

И хотя вы двигаетесь по-разному,

you both end up moving the same distance in the same direction

в результате оба переместитесь на то же расстояние в том же направлении,

following the same vector.

соответствующими одному вектору.

No matter which way you face,

Неважно, в каком направлении вы смотрите

or what coordinate system you place over the camp ground,

или какую систему координат размечаете на поле,

the vector doesn't change.

вектор не изменится.

Let's use the familiar Cartesian coordinate system

Давайте возьмём знакомую нам прямоугольную систему Декарта

with its x and y axes.

с осями Х и Y.

We call these two directions our coordinate basis

Они называются базисами координат,

because they're used to describe everything we graph.

потому что используются для описания всего, что мы изобразим.

Let's say the tent starts at the origin and ends up over here at point B.

Представим, что палатка переместилась от начала координат до точки B.

The straight arrow connecting the two points

Прямая стрелка, соединяющая эти две точки —

is the vector from the origin to B.

вектор из начала координат в точку B.

When your friend thinks about where he has to move,

Когда ваш друг решает, куда ему двигаться,

it can be written mathematically as 2x + 3y,

математически это может быть записано как 2x + 3y.

or, like this, which is called an array.

Или так — это называется матрицей.

Since you're facing the other way,

Вы смóтрите в другую сторону,

your coordinate basis points in opposite directions,

поэтому ваши базисы указывают в противоположных направлениях,

which we can call x prime and y prime,

которые мы можем обозначить как X штрих и Y штрих.

and your movement can be written like this,

Ваше движение можно записать вот так

or with this array.

или вот этой матрицей.

If we look at the two arrays, they're clearly not the same,

Если мы посмотрим на них, они, очевидно, не одинаковы,

but an array alone doesn't completely describe a vector.

но матрица сама по себе не полностью описывает вектор.

Each needs a basis to give it context,

Векторам необходим базис, чтобы определить их в пространстве.

and when we properly assign them,

Когда мы верно располагаем их,

we see that they are in fact describing the same vector.

мы видим, что матрицы на самом деле описывают один и тот же вектор.

You can think of elements in the array as individual letters.

Можно представить элементы в матрице как отдельные точки.

Just as a sequence of letters only becomes a word

Но так же, как последовательность букв становится словом

in the context of a particular language,

только в контексте определённого языка,

an array acquires meaning as a vector when assigned a coordinate basis.

матрица получает значение вектора, когда она находится в системе координат.

And just as different words in two languages can convey the same idea,

И как разные слова в двух языках передают одинаковое значение,

different representations from two bases can describe the same vector.

разные изображения из двух базисов могут описывать один вектор.

The vector is the essence of what's being communicated,

Вектор — это основная мысль передаваемого,

regardless of the language used to describe it.

вне зависимости от языка, используемого для описания.

It turns out that scalars also share this coordinate invariance property.

Скаляры так же неизменны относительно системы координат.

In fact, all quantities with this property are members of a group called tensors.

Все величины с этим свойством входят в группу тензоров.

Various types of tensors contain different amounts of information.

Различные виды тензоров содержат разное количество информации.

Does that mean there's something that can convey more information than vectors?

Значит ли это, что векторы не дают нам всей информации?

Absolutely.

Так и есть.

Say you're designing a video game,

Предположим, вы создаёте видеоигру

and you want to realistically model how water behaves.

и хотите получить реалистичную модель движения воды.

Even if you have forces acting in the same direction

Даже если силы действуют в одном направлении

with the same magnitude,

и их величина одинакова,

depending on how they're oriented, you might see waves or whirls.

в зависимости от их направленности, получаются волны или вихри.

When force, a vector, is combined with another vector that provides orientation,

Когда сила — вектор — объединена с другим вектором, обозначающим направление,

we have the physical quantity called stress,

мы получаем физическое явление, именуемое механическим напряжением,

which is an example of a second order tensor.

являющееся примером тензора второго порядка.

These tensors are also used outside of video games for all sorts of purposes,

Кроме видеоигр, тензоры используются для различных целей,

including scientific simulations,

включая научные симуляторы,

car designs,

дизайн автомобилей

and brain imaging.

и визуализацию головного мозга.

Scalars, vectors, and the tensor family present us with a relatively simple way

Скаляры, векторы и семейство тензоров позволяют сравнительно просто

of making sense of complex ideas and interactions,

описать замысловатые идеи и взаимодействия,

and as such, they're a prime example of the elegance, beauty,

и потому являются превосходным примером элегантности, красоты

and fundamental usefulness of mathematics.

и неоспоримой пользы математики.