What is a vector? - David Huynh

תרגום: Roni Ravia עריכה: Sigal Tifferet

Physicists,

לפיסיקאים,

air traffic controllers,

פקחי טיסה,

and video game creators

ומעצבי משחקי וידאו,

all have at least one thing in common:

יש לפחות מכנה משותף אחד:

vectors.

וקטורים.

What exactly are they, and why do they matter?

מה הם בעצם, ולמה הם חשובים?

To answer, we first need to understand scalars.

כדי לענות על כך, עלינו להבין ראשית מהו סקלר.

A scalar is a quantity with magnitude.

סקלר הוא רכיב בעל גודל בלבד.

It tells us how much of something there is.

הוא אומר לנו מהי הכמות.

The distance between you and a bench,

המרחק בינכם לספסל,

and the volume and temperature of the beverage in your cup

הנפח והטמפרטורה של המשקה בכוסכם,

are all described by scalars.

כל אלה מתוארים בעזרת סקלרים.

Vector quantities also have a magnitude plus an extra piece of information,

לוקטור גם יש גודל אך יש לו גם פיסת מידע נוספת,

direction.

כיוון.

To navigate to your bench,

כדי להגיע לספסל,

you need to know how far away it is and in what direction,

יש לדעת כמה הוא רחוק ובאיזה כיוון צריך לנוע,

not just the distance, but the displacement.

לא רק המרחק, אלא ההעתק.

What makes vectors special and useful in all sorts of fields

מה שעושה וקטור לכל כך יחודי ושימושי בתחומים שונים

is that they don't change based on perspective

הוא שהוא אינו תלוי בנקודת המבט.

but remain invariant to the coordinate system.

הוא נשאר קבוע תחת מערכות ייחוס שונות.

What does that mean?

למה הכוונה?

Let's say you and a friend are moving your tent.

נניח שאתם וחברכם מזיזים את האוהל שלכם.

You stand on opposite sides so you're facing in opposite directions.

אתם עומדים בקצות שונים של האוהל ופניכם מועדות לכיוונים שונים.

Your friend moves two steps to the right and three steps forward

חברכם זז שני צעדים ימינה ושלושה צעדים קדימה

while you move two steps to the left and three steps back.

בזמן שאתם זזים שני צעדים שמאלה ושלושה צעדים אחורה.

But even though it seems like you're moving differently,

אך אפילו אם נראה שאתם זזים בכיוון שונה,

you both end up moving the same distance in the same direction

יוצא שכולכם זזים אותו מרחק באותו כיוון

following the same vector.

על פי אותו וקטור.

No matter which way you face,

ולא משנה לאן מועדות פניכם,

or what coordinate system you place over the camp ground,

או באיזו מערכת צירים השתמשתם,

the vector doesn't change.

הוקטור נשאר זהה.

Let's use the familiar Cartesian coordinate system

בואו נשתמש במערכת הצירים הקרטזית

with its x and y axes.

עם צירי ה-x וה-y שלה.

We call these two directions our coordinate basis

אנחנו קוראים לכיוונים אלו וקטורי היחידה הבסיסיים

because they're used to describe everything we graph.

משום שהם משמשים אותנו לתיאור של כל דבר על הגרף.

Let's say the tent starts at the origin and ends up over here at point B.

נניח שהאוהל מתחיל בראשית הצירים ומסתיים פה בנקודה B.

The straight arrow connecting the two points

החץ המחבר בין שתי הנקודות

is the vector from the origin to B.

הוא הוקטור מראשית הצירים לנקודה B.

When your friend thinks about where he has to move,

כשחברכם חושב לאן עליו לנוע,

it can be written mathematically as 2x + 3y,

הוא יכול לתאר זאת בצורה מתמטית על ידי 2x+3y.

or, like this, which is called an array.

או באופן כזה, בעזרת מערך.

Since you're facing the other way,

מכיוון שפניכם מועדות לכיוון ההפוך,

your coordinate basis points in opposite directions,

וקטורי היחידה שלכם מצביעים לכיוון הנגדי,

which we can call x prime and y prime,

שניתן לקרוא לו 'x ו-'y,

and your movement can be written like this,

וכיוון התנועה שלכם יכול לתואר כך,

or with this array.

או בעזרת מערך זה.

If we look at the two arrays, they're clearly not the same,

אם נסתכל על שני המערכים, הם בברור אינם זהים,

but an array alone doesn't completely describe a vector.

אבל מערך כשלעצמו אינו מתאר וקטור בשלמותו.

Each needs a basis to give it context,

לכל אחד מהמערכים נדרשים וקטורי יחידה בסיסיים,

and when we properly assign them,

וכאשר אלו מוצמדים אליהם,

we see that they are in fact describing the same vector.

ניתן לראות שהם אכן מתארים את אותו וקטור.

You can think of elements in the array as individual letters.

אתם יכולים לחשוב על איברים במערך כאותיות בודדות.

Just as a sequence of letters only becomes a word

בדיוק כמו שלמילה עם משמעות בשפה מסויימת

in the context of a particular language,

נדרש רצף מסויים של אותיות,

an array acquires meaning as a vector when assigned a coordinate basis.

כך למערך נדרשים וקטורי יחידה בסיסיים על מנת שתהיה לו משמעות כוקטור.

And just as different words in two languages can convey the same idea,

ובדיוק כמו ששתי מילים בשפות שונות יכולות להעביר את אותו רעיון,

different representations from two bases can describe the same vector.

כך מערכות צירים שונות יכולות לתאר את אותו וקטור.

The vector is the essence of what's being communicated,

הוקטור הוא מהות המסר,

regardless of the language used to describe it.

ללא חשיבות לשפה שבה מדברים.

It turns out that scalars also share this coordinate invariance property.

מסתבר, שגם סקלרים חולקים את תכונת האינווריאנטיות הזו.

In fact, all quantities with this property are members of a group called tensors.

למעשה, כל רכיב שחולק את תכונה זו הוא חבר בקבוצת הטנזורים.

Various types of tensors contain different amounts of information.

טנזורים שונים מכילים כמויות מידע שונות.

Does that mean there's something that can convey more information than vectors?

האם זה אומר שקיים רכיב שמכיל יותר מידע מוקטור?

Absolutely.

בודאי.

Say you're designing a video game,

נניח שאתם מעצבים משחק וידאו,

and you want to realistically model how water behaves.

ואתם רוצים ליצור מודל מציאותי של מים.

Even if you have forces acting in the same direction

אפילו אם יש לכם כוחות הפועלים באותו כיוון

with the same magnitude,

בעלי אותו גודל.

depending on how they're oriented, you might see waves or whirls.

הדרך בה הם מסודרים במרחב, תקבע אם יתקבלו גלים או מערבולות.

When force, a vector, is combined with another vector that provides orientation,

כשכוח, וקטור כשלעצמו, חובר לוקטור המתאר סידור מרחבי

we have the physical quantity called stress,

מתקבל מונח פיסיקלי הקרוי בשם מאמץ.

which is an example of a second order tensor.

שהוא דוגמא לטנזור ממעלה שנייה.

These tensors are also used outside of video games for all sorts of purposes,

טנזורים שכאלו הם שימושיים גם מחוץ לתחום משחקי הוידאו למטרות שונות,

including scientific simulations,

הכוללות בין השאר סימולציות מדעיות,

car designs,

עיצוב כלי רכב,

and brain imaging.

והדמיות מוחיות.

Scalars, vectors, and the tensor family present us with a relatively simple way

סקלרים, וקטורים ומשפחת הטנזורים מספקים לנו דרך פשוטה למדי

of making sense of complex ideas and interactions,

להבנת רעיונות ויחסי גומלין מורכבים,

and as such, they're a prime example of the elegance, beauty,

ובכך הם מהווים דוגמא מצויינת לאלגנטיות, ליופי

and fundamental usefulness of mathematics.

ולתועלת החשובה שבמתמטיקה.