What is a vector? - David Huynh

Translator: Borislava Goneva Reviewer: Anton Hikov

Physicists,

Физици,

air traffic controllers,

ръководители на полети

and video game creators

и създатели на видео игри -

all have at least one thing in common:

всички те имат поне едно общо нещо:

vectors.

вектори.

What exactly are they, and why do they matter?

Какво представляват те и защо са от значение?

To answer, we first need to understand scalars.

За да отговорим, първо трябва да разберем скаларите.

A scalar is a quantity with magnitude.

Скаларът е величина с големина.

It tells us how much of something there is.

Той ни казва какво количество от едно нещо съществува.

The distance between you and a bench,

Разстоянието между теб и пейка,

and the volume and temperature of the beverage in your cup

както и обемът и температурата на напитката в чашата ти

are all described by scalars.

се обясняват със скаларите.

Vector quantities also have a magnitude plus an extra piece of information,

Векторните количества също имат големина, заедно с допълнителна информация -

direction.

посока.

To navigate to your bench,

За да стигнеш до пейката,

you need to know how far away it is and in what direction,

трябва да знаеш колко далече е и в коя посока,

not just the distance, but the displacement.

не просто разстоянието, а разположението.

What makes vectors special and useful in all sorts of fields

Това, което прави векторите специални и полезни в различни сфери

is that they don't change based on perspective

е фактът, че не се променят при смяна на гледната точка,

but remain invariant to the coordinate system.

а остават непроменени спрямо координатната система.

What does that mean?

Какво означава това?

Let's say you and a friend are moving your tent.

Да кажем, че ти и приятел премествате палатка.

You stand on opposite sides so you're facing in opposite directions.

Стоите от противоположни страни, с лица в противоположни посоки.

Your friend moves two steps to the right and three steps forward

Твоят приятел се премества 2 крачки вдясно и 3 крачки напред,

while you move two steps to the left and three steps back.

а ти - 2 крачки вляво и 3 крачки назад.

But even though it seems like you're moving differently,

Но дори да изглежда, че се придвижвате различно,

you both end up moving the same distance in the same direction

и двамата се оказва, че минавате същото разстояние в същата посока,

following the same vector.

следвайки един и същ вектор.

No matter which way you face,

Без значение накъде гледате

or what coordinate system you place over the camp ground,

или коя координатна система мислено поставяте на къмпинга,

the vector doesn't change.

векторът не се променя.

Let's use the familiar Cartesian coordinate system

Нека ползваме познатата Декартова координатна система

with its x and y axes.

с нейните X- и Y-оси.

We call these two directions our coordinate basis

Наричаме тези 2 посоки нашата координатна база,

because they're used to describe everything we graph.

тъй като те обясняват всичко, което чертаем.

Let's say the tent starts at the origin and ends up over here at point B.

Да кажем, че палатката започва в началото и стига до тук в точка Б.

The straight arrow connecting the two points

Правата стрелка, свързваща двете точки,

is the vector from the origin to B.

е векторът от началото до Б.

When your friend thinks about where he has to move,

Когато твоят приятел обмисля накъде трябва да се придвижи,

it can be written mathematically as 2x + 3y,

това може да се напише математически като 2x + 3y,

or, like this, which is called an array.

или така, което се нарича масив.

Since you're facing the other way,

Тъй като ти гледаш в другата посока,

your coordinate basis points in opposite directions,

твоята координатна база сочи в противоположните посоки,

which we can call x prime and y prime,

които наричаме x' и y',

and your movement can be written like this,

а твоето движение може да се напише така,

or with this array.

или с този масив.

If we look at the two arrays, they're clearly not the same,

Ако погледнем двата масива, те очевидно не са еднакви,

but an array alone doesn't completely describe a vector.

но един масив сам по себе си не описва напълно даден вектор.

Each needs a basis to give it context,

Всеки се нуждае от база, за да придаде контекст,

and when we properly assign them,

така че когато правилно им зададем такава,

we see that they are in fact describing the same vector.

виждаме, че всъщност описват един и същ вектор.

You can think of elements in the array as individual letters.

Можем да мислим за елементите в масива като за отделни букви.

Just as a sequence of letters only becomes a word

Точно както последователност от букви образува дума

in the context of a particular language,

само в контекста на конкретен език,

an array acquires meaning as a vector when assigned a coordinate basis.

масивът придобива значение като вектор, когато му се придаде координатна база.

And just as different words in two languages can convey the same idea,

И както различни думи в два езика могат да носят еднаква идея,

different representations from two bases can describe the same vector.

различните представяния на 2 бази могат да описват един и същ вектор.

The vector is the essence of what's being communicated,

Векторът е същността на това, което се представя,

regardless of the language used to describe it.

независимо от езика, използван за описване.

It turns out that scalars also share this coordinate invariance property.

Оказва се, че скаларите също споделят това координатно инвариантно свойство.

In fact, all quantities with this property are members of a group called tensors.

Всъщност всички величини с това свойство са част от групата на тензорите.

Various types of tensors contain different amounts of information.

Различните типове тензори съдържат различно количество информация.

Does that mean there's something that can convey more information than vectors?

Това означава ли, че има нещо, което може да носи повече информация от векторите?

Absolutely.

Напълно.

Say you're designing a video game,

Ако например създаваш видео игра

and you want to realistically model how water behaves.

и искаш да пресъздадеш реалистично движението на водата -

Even if you have forces acting in the same direction

дори да приложиш сили, действащи в еднаква посока

with the same magnitude,

с еднаква величина,

depending on how they're oriented, you might see waves or whirls.

в зависимост от ориентацията им, може да виждаш вълни или вихрушки.

When force, a vector, is combined with another vector that provides orientation,

Когато сила, вектор, е комбинирана с друг вектор, който дава ориентация,

we have the physical quantity called stress,

получаваме физичната величина, наречена стрес,

which is an example of a second order tensor.

което е пример за тензор от втори ранг.

These tensors are also used outside of video games for all sorts of purposes,

Тези тензори се използват и извън видео игрите за всякакви цели,

including scientific simulations,

включително научни симулации,

car designs,

автомобилен дизайн

and brain imaging.

и невровизуализация на мозъка.

Scalars, vectors, and the tensor family present us with a relatively simple way

Скаларите, векторите и семейството на тензорите ни показват

сравнително лесен начин да разберем сложни идеи и взаимодействия,

of making sense of complex ideas and interactions,

and as such, they're a prime example of the elegance, beauty,

и като такива, те са красноречив пример за елегантността, красотата

and fundamental usefulness of mathematics.

и фундаменталната полезност на математиката.