What is a vector? - David Huynh

Μετάφραση: Christos Selemeles Επιμέλεια: Lucas Kaimaras

Physicists,

Οι φυσικοί,

air traffic controllers,

οι ελεγκτές εναέριας πτήσης

and video game creators

και οι δημιουργοί βιντεοπαιχνιδιών

all have at least one thing in common:

έχουν τουλάχιστον ένα κοινό:

vectors.

τα διανύσματα.

What exactly are they, and why do they matter?

Τι ακριβώς είναι αυτά και γιατί είναι σημαντικά;

To answer, we first need to understand scalars.

Για να απαντήσουμε, πρέπει πρώτα να καταλάβουμε τους βαθμωτούς.

A scalar is a quantity with magnitude.

Ένας βαθμωτός είναι μια ποσότητα με πλάτος.

It tells us how much of something there is.

Μας λέει πόσο πολύ υπάρχει από κάτι.

The distance between you and a bench,

Η απόστασή σας από έναν πάγκο

and the volume and temperature of the beverage in your cup

και ο όγκος και η θερμοκρασία του αναψυκτικού στο ποτήρι σας

are all described by scalars.

περιγράφονται από βαθμωτούς.

Vector quantities also have a magnitude plus an extra piece of information,

Οι διανυσματικές ποσότητες έχουν επίσης πλάτος συν ακόμα μία πληροφορία,

direction.

την κατεύθυνση.

To navigate to your bench,

Για να κατευθυνθείτε προς τον πάγκο σας

you need to know how far away it is and in what direction,

πρέπει να γνωρίζετε πόσο μακριά βρίσκεται και προς ποια κατεύθυνση·

not just the distance, but the displacement.

όχι μόνο την απόσταση, αλλά τη μετατόπιση.

What makes vectors special and useful in all sorts of fields

Αυτό που κάνει τα διανύσματα ιδιαίτερα και χρήσιμα σε τόσα πεδία

is that they don't change based on perspective

είναι ότι δεν αλλάζουν με βάση την προοπτική,

but remain invariant to the coordinate system.

αλλά παραμένουν αναλλοίωτα ως προς το σύστημα συντεταγμένων.

What does that mean?

Τι σημαίνει αυτό;

Let's say you and a friend are moving your tent.

Ας πούμε ότι εσείς και ένας φίλος σας, μετακινείτε τη σκηνή σας.

You stand on opposite sides so you're facing in opposite directions.

Στέκεστε σε αντίθετες πλευρές, άρα κοιτάτε σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Your friend moves two steps to the right and three steps forward

Ο φίλος σας κινείται δύο βήματα προς τα δεξιά και τρία βήματα μπροστά

while you move two steps to the left and three steps back.

ενώ εσείς κινείστε δύο βήματα προς τα αριστερά και τρία βήματα πίσω.

But even though it seems like you're moving differently,

Αλλά παρά το ότι φαίνεται σαν να κινείστε διαφορετικά,

you both end up moving the same distance in the same direction

και οι δύο καταλήγετε να έχετε μετακινηθεί την ίδια απόσταση στην ίδια κατεύθυνση,

following the same vector.

ακολουθώντας το ίδιο διάνυσμα.

No matter which way you face,

Ανεξάρτητα από το πού βλέπετε

or what coordinate system you place over the camp ground,

ή ποιο σύστημα συντεταγμένων τοποθετείτε στο έδαφος της κατασκήνωσης,

the vector doesn't change.

το διάνυσμα δεν αλλάζει.

Let's use the familiar Cartesian coordinate system

Ας χρησιμοποιήσουμε το οικείο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

with its x and y axes.

με τους άξονες x και y.

We call these two directions our coordinate basis

Αποκαλούμε αυτές τις δύο κατευθύνσεις τη βάση του συστήματος συντεταγμένων,

because they're used to describe everything we graph.

επειδή περιγράφουν οτιδήποτε σχεδιάζουμε.

Let's say the tent starts at the origin and ends up over here at point B.

Ας πούμε ότι η σκηνή ξεκινά από την αρχή των αξόνων και καταλήγει στο σημείο Β.

The straight arrow connecting the two points

Το βέλος, που ενώνει τα δύο σημεία,

is the vector from the origin to B.

είναι το διάνυσμα από την αρχή των αξόνων στο Β.

When your friend thinks about where he has to move,

Όταν ο φίλος σας σκέφτεται προς τα πού πρέπει να κινηθεί,

it can be written mathematically as 2x + 3y,

αυτό μπορεί να γραφτεί μαθηματικά ως 2x̂ + 3ŷ

or, like this, which is called an array.

ή έτσι, που ονομάζεται «διατεταγμένο ζεύγος».

Since you're facing the other way,

Αφού κοιτάζετε σε αντίθετες κατευθύνσεις,

your coordinate basis points in opposite directions,

η βάση του συστήματος συντεταγμένων δείχνει σε αντίθετες κατευθύνσεις,

which we can call x prime and y prime,

που τις ονομάζουμε x′ και y′

and your movement can be written like this,

και η κίνησή σας μπορεί να γραφεί ως εξής·

or with this array.

ή με αυτό το διατεταγμένο ζεύγος.

If we look at the two arrays, they're clearly not the same,

Αν δούμε τα δύο διατεταγμένα ζεύγη, προφανώς είναι διαφορετικά.

but an array alone doesn't completely describe a vector.

Αλλά μόνο του ένα διατεταγμένο ζεύγος δεν περιγράφει εντελώς ένα διάνυσμα.

Each needs a basis to give it context,

Το καθένα χρειάζεται μια βάση να του δώσει ένα πλαίσιο

and when we properly assign them,

και όταν τους τα δώσουμε,

we see that they are in fact describing the same vector.

βλέπουμε ότι στην πραγματικότητα περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα.

You can think of elements in the array as individual letters.

Σκεφτείτε τα στοιχεία του διατεταγμένου ζεύγους ως ξεχωριστά γράμματα.

Just as a sequence of letters only becomes a word

Όπως μια ακολουθία από γράμματα γίνεται λέξη,

in the context of a particular language,

μόνο στο πλαίσιο μιας συγκεκριμένης γλώσσας,

an array acquires meaning as a vector when assigned a coordinate basis.

ένα διατεταγμένο ζεύγος αποκτά νόημα ως διάνυσμα,

όταν του έχει αντιστοιχιστεί μία βάση συντεταγμένων.

And just as different words in two languages can convey the same idea,

Όπως διαφορετικές λέξεις σε δύο γλώσσες μπορεί να φέρουν την ίδια έννοια,

different representations from two bases can describe the same vector.

διαφορετικές αναπαραστάσεις από δύο βάσεις

μπορούν να περιγράφουν το ίδιο διάνυσμα.

The vector is the essence of what's being communicated,

Το διάνυσμα είναι η ουσία αυτού που επικοινωνείται,

regardless of the language used to describe it.

ανεξάρτητα από τη γλώσσα που το περιγράφει.

Αποδεικνύεται ότι και οι βαθμωτοί επίσης έχουν αυτήν την ιδιότητα του αναλλοίωτου.

It turns out that scalars also share this coordinate invariance property.

In fact, all quantities with this property are members of a group called tensors.

Μάλιστα, όλες οι ποσότητες με αυτήν την ιδιότητα

είναι μέλη μιας ομάδας, που ονομάζεται «τανυστές».

Various types of tensors contain different amounts of information.

Διάφοροι τύποι τανυστών περιέχουν διαφορετικές ποσότητες πληροφοριών.

Does that mean there's something that can convey more information than vectors?

Σημαίνει αυτό ότι υπάρχει κάτι που μπορεί να μεταφέρει

περισσότερες πληροφορίες από τα διανύσματα; Απολύτως.

Absolutely.

Say you're designing a video game,

Ας πούμε ότι σχεδιάζετε ένα βιντεοπαιχνίδι

and you want to realistically model how water behaves.

και θέλετε να μοντελοποιήσετε ρεαλιστικά τη συμπεριφορά του νερού.

Even if you have forces acting in the same direction

Ακόμα κι αν έχετε δυνάμεις να δρουν στην ίδια κατεύθυνση

with the same magnitude,

με το ίδιο πλάτος,

ανάλογα με τον προσανατολισμό τους, θα δείτε κύματα ή δίνες.

depending on how they're oriented, you might see waves or whirls.

When force, a vector, is combined with another vector that provides orientation,

Όταν η δύναμη, που είναι διάνυσμα,

συνδυάζεται με ένα άλλο διάνυσμα, που δίνει τον προσανατολισμό,

we have the physical quantity called stress,

έχουμε μια φυσική ποσότητα που ονομάζεται τάση,

which is an example of a second order tensor.

που είναι ένα παράδειγμα τανυστή δεύτερης τάξης.

These tensors are also used outside of video games for all sorts of purposes,

Οι τανυστές δεν χρησιμοποιούνται μόνο για βιντεοπαιχνίδια,

αλλά για πολλούς άλλους σκοπούς, όπως επιστημονικές προσομοιώσεις,

including scientific simulations,

car designs,

σχεδίαση αυτοκινήτων και την απεικόνιση του εγκεφάλου.

and brain imaging.

Scalars, vectors, and the tensor family present us with a relatively simple way

Η οικογένεια των βαθμωτών, διανυσμάτων και τανυστών,

μας παρέχει έναν σχετικά απλό τρόπο

of making sense of complex ideas and interactions,

να καταλάβουμε σύνθετες ιδέες και αλληλεπιδράσεις,

and as such, they're a prime example of the elegance, beauty,

συνεπώς είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα κομψότητας, ομορφιάς

and fundamental usefulness of mathematics.

και θεμελιώδους χρησιμότητας των Μαθηματικών.