What is a vector? - David Huynh

Mi fán terem a vektor? – David Huynh

Fordító: Péter Pallós Lektor: Edit Dr. Kósa

Physicists,

A fizikusokat,

air traffic controllers,

a légi irányítókat

and video game creators

és a videojáték-tervezőket

all have at least one thing in common:

legalább egyvalami összeköti:

vectors.

a vektorok.

What exactly are they, and why do they matter?

Pontosan mik ezek, és miért fontosak?

To answer, we first need to understand scalars.

A válaszhoz előbb meg kell értenünk, mik azok a skalárok.

A scalar is a quantity with magnitude.

A skalár valaminek a mennyisége,

It tells us how much of something there is.

és azt mondja meg, hogy valamiből mennyi van.

The distance between you and a bench,

Távolságod egy padtól,

and the volume and temperature of the beverage in your cup

a csészédben lévő ital térfogata és hőmérséklete

are all described by scalars.

mind-mind skalár.

Vector quantities also have a magnitude plus an extra piece of information,

A vektormennyiségeknek is van nagyságuk, de ezenkívül plusz infót is tartalmaznak:

direction.

az irányt.

To navigate to your bench,

Hogy eljuss a padhoz, tudnod kell,

you need to know how far away it is and in what direction,

milyen messze és milyen irányban van,

not just the distance, but the displacement.

nemcsak a távolságot, hanem az elmozdulást is.

What makes vectors special and useful in all sorts of fields

A vektorok attól különlegesek és hasznosak minden területen,

is that they don't change based on perspective

hogy a perspektívában nem változnak,

but remain invariant to the coordinate system.

invariánsak a koordinátarendszerben.

What does that mean?

Mit jelent ez?

Let's say you and a friend are moving your tent.

Mondjuk, a barátoddal arrébb viszed a sátradat.

You stand on opposite sides so you're facing in opposite directions.

Te az ellenkező oldalon állsz, tehát ellenkező irányba néztek.

Your friend moves two steps to the right and three steps forward

Barátod két lépést tesz jobbra és három lépést előre,

while you move two steps to the left and three steps back.

miközben te két lépést balra és három lépést hátra.

But even though it seems like you're moving differently,

Noha úgy látszik, mintha különbözőképpen mozognátok,

you both end up moving the same distance in the same direction

de mindketten azonos távolságot tesztek meg, és azonos irányban mozogtok

following the same vector.

ugyanazon vektor mentén.

No matter which way you face,

Nem számít, melyik irányba nézel,

or what coordinate system you place over the camp ground,

vagy milyen koordinátarendszert helyezel el a kempingterületen,

the vector doesn't change.

a vektor nem változik.

Let's use the familiar Cartesian coordinate system

Használjuk az ismerős Descartes-féle koordinátarendszert,

with its x and y axes.

annak az x és y tengelyeit.

We call these two directions our coordinate basis

E két irányt koordinátabázisnak hívjuk,

because they're used to describe everything we graph.

mert minden ábrázolt mennyiség leírására használjuk őket.

Let's say the tent starts at the origin and ends up over here at point B.

Mondjuk, a sátor kezdőpontja az origóban van, és a B pontig tart.

The straight arrow connecting the two points

A két pontot összekötő egyenes nyíl

is the vector from the origin to B.

az origót és a B pontot köti össze.

When your friend thinks about where he has to move,

Amikor a barátod arra gondol, merre kell elmozdulnia,

it can be written mathematically as 2x + 3y,

matematikailag ez így írható föl: 2x + 3y,

or, like this, which is called an array.

vagy így, ezt mátrixnak nevezzük.

Since you're facing the other way,

Mivel az ellenkező irányba nézel,

your coordinate basis points in opposite directions,

a koordinátarendszered az ellenkező irányba mutat,

which we can call x prime and y prime,

ezt x'-nek, azaz x vesszőnek és y'-nek, azaz y vesszőnek hívjuk.

and your movement can be written like this,

Mozgásod így írható föl:

or with this array.

vagy ezzel a mátrixszal.

If we look at the two arrays, they're clearly not the same,

A két mátrix láthatólag nem egyforma,

but an array alone doesn't completely describe a vector.

de egy mátrix egyedül nem teljesen adja meg a vektort.

Each needs a basis to give it context,

Az értelmezéshez mindnek kezdőpontra van szüksége,

and when we properly assign them,

és ha egy irányba helyezzük őket,

we see that they are in fact describing the same vector.

látható, hogy ezek tényleg ugyanazt a vektort adják meg.

You can think of elements in the array as individual letters.

A mátrix elemeit betűknek is fölfoghatjuk.

Just as a sequence of letters only becomes a word

Mint ahogy betűk kombinációjából

in the context of a particular language,

csak konkrét nyelv esetén képződnek szavak,

an array acquires meaning as a vector when assigned a coordinate basis.

a mátrix akkor kap értelmet mint vektor, ha koordinátarendszerben van.

And just as different words in two languages can convey the same idea,

Mint ahogy két nyelvben más-más szóval fejezhetjük ki ugyanazt a fogalmat,

different representations from two bases can describe the same vector.

két rendszerben a más-más ábrázolás adhatja ugyanazt a vektort.

The vector is the essence of what's being communicated,

A vektor a lényege annak, amit közlünk,

regardless of the language used to describe it.

függetlenül a megadására használt nyelvtől.

It turns out that scalars also share this coordinate invariance property.

A skalárok is invariánsak arra, hogy mely koordinátarendszerben vannak megadva.

In fact, all quantities with this property are members of a group called tensors.

Az ilyen tulajdonságú mennyiségek a tenzor nevű csoport tagjai.

Various types of tensors contain different amounts of information.

A különböző tenzorfajták más-más mennyiségű információt tartalmaznak.

Does that mean there's something that can convey more information than vectors?

Ez azt jelenti, hogy több információt hordoznak, mint a vektorok?

Absolutely.

Pontosan azt.

Say you're designing a video game,

Mondjuk, videojátékot tervezel,

and you want to realistically model how water behaves.

és valósághűen akarod modellezni a víz viselkedését.

Even if you have forces acting in the same direction

Még ha azonos vonalon ható,

with the same magnitude,

azonos nagyságú erőkkel van is dolgunk,

depending on how they're oriented, you might see waves or whirls.

az irányuktól függően hullámokat vagy örvénylést láthatunk.

When force, a vector, is combined with another vector that provides orientation,

Amikor az erőt, egy vektort, egy irányt megadó másik vektorral kombináljuk,

we have the physical quantity called stress,

a mechanikai feszültség nevű fizikai mennyiséghez jutunk,

which is an example of a second order tensor.

amely példa a másodrendű tenzorra.

These tensors are also used outside of video games for all sorts of purposes,

Ezek a tenzorok a videojátékokon kívül rengeteg célra használatosak,

including scientific simulations,

beleértve a tudományos szimulációkat,

car designs,

a gépkocsitervezést

and brain imaging.

és a képalkotást az agyról.

Scalars, vectors, and the tensor family present us with a relatively simple way

A skalárok, a vektorok és a tenzorcsalád viszonylag egyszerű eszközei annak,

of making sense of complex ideas and interactions,

hogy megérthessük az összetett fogalmakat és kölcsönhatásokat,

and as such, they're a prime example of the elegance, beauty,

és így ékes példái a matematika eleganciájának, szépségének

and fundamental usefulness of mathematics.

és alapvető hasznosságának.