Exploring other dimensions - Alex Rosenthal and George Zaidan

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: omar idmassaoud

We live in a three-dimensional world

Vivemos num mundo a três dimensões,

where everything has length,

em que tudo tem comprimento,

width,

and height.

largura e altura.

But what if our world were two-dimensional?

E se o nosso mundo fosse a duas dimensões?

We would be squashed down

Ficaríamos achatados

to occupy a single plane of existence,

e ocuparíamos um único plano de existência,

geometrically speaking, of course.

geometricamente falando, claro.

And what would that world look and feel like?

E que aspeto teria esse mundo e como o sentiríamos?

This is the premise

of Edwin Abbott's 1884 novella, Flatland.

Este é o ponto de partida

de Flatland, o romance de 1884, de Edwin Abbott.

Flatland is a fun, mathematical thought experiment

Flatland é uma experiência matemática divertida

that follows the trials and tribulations of a square

que acompanha os esforços e as atribulações dum quadrado

exposed to the third dimension.

confrontado com a terceira dimensão.

But what is a dimension, anyway?

Aliás, o que é uma dimensão?

For our purposes, a dimension is a direction,

Para o nosso objetivo, uma dimensão é uma direção,

which we can picture as a line.

que podemos representar como uma linha.

For our direction to be a dimension,

Para que a nossa direção seja uma dimensão

it has to be at right angles to all other dimensions.

tem que estar em ângulo reto com todas as outras dimensões.

So, a one-dimensional space is just a line.

Assim, um espaço unidimensional é apenas uma linha.

A two-dimensional space is defined

Um espaço bidimensional define-se

by two perpendicular lines,

por duas linhas perpendiculares,

which describe a flat plane

o que define um plano liso, como uma folha de papel.

like a piece of paper.

And a three-dimensional space

E um espaço tridimensional

adds a third perpendicular line,

acrescenta uma terceira linha perpendicular,

which gives us height

que nos dá a altura do mundo que nos é familiar.

and the world we're familiar with.

So, what about four dimensions?

Então, e quatro dimensões?

And five?

E cinco dimensões?

And eleven?

E onze dimensões?

Where do we put these new perpendicular lines?

Onde pomos essas novas linhas perpendiculares?

This is where Flatland can help us.

É aqui que Flatland nos pode ajudar.

Let's look at our square protagonist's world.

Observemos o mundo do quadrado nosso protagonista.

Flatland is populated by geometric shapes,

Flatland é povoado por formas geométricas,

ranging from isosceles trianges

que vão dos triângulos isósceles e dos triângulos equiláteros

to equilateral triangles

to squares,

pentagons,

aos quadrados, pentágonos, hexágonos,

hexagons,

all the way up to circles.

a todos os polígonos até aos círculos.

These shapes are all scurrying around a flat world,

Essas formas movimentam-se todas num mundo plano,

living their flat lives.

e vivem as suas vidas planas.

They have a single eye on the front of their faces,

Têm um único olho na parte da frente da cara.

and let's see what the world looks like

Vejamos o aspeto desse mundo segundo a perspetiva deles.

from their perspective.

What they see is essentially one dimension,

Eles veem apenas uma dimensão,

a line.

uma linha.

But in Abbott's Flatland,

Mas em Flatland de Abbott,

closer objects are brighter,

os objetos mais próximos são mais claros,

and that's how they see depth.

e é assim que eles veem a profundidade.

So a triangle looks different from a square,

Assim, um triângulo é diferente de um quadrado,

looks different a circle,

é diferente de um círculo,

and so on.

Their brains cannot comprehend the third dimension.

e por aí adiante.

O cérebro deles não apreende a terceira dimensão.

In fact, they vehemently deny its existence

Na verdade, negam veementemente a sua existência

because it's simply not part of their world

porque não faz parte do mundo deles

or experience.

nem da sua experiência.

But all they need,

Tudo aquilo de que precisam, conforme se vem a verificar,

as it turns out,

is a little boost.

é de um pequeno estímulo.

One day a sphere shows up in Flatland

Um dia, aparece uma esfera em Flatland

to visit our square hero.

que vai visitar o nosso herói quadrado.

Here's what it looks like

Este é o aspeto da passagem da esfera por Flatland,

when the sphere passes through Flatland

from the square's perspective,

segundo a perspetiva do quadrado.

and this blows his little square mind.

Isso faz explodir o seu pequeno cérebro quadrado.

Then the sphere lifts the square

Depois, a esfera leva o quadrado

into the third dimension,

para a terceira dimensão,

the height direction where no Flatlander has gone before

a direção da altura que nenhum habitante de Flatland conhece

and shows him his world.

e mostra-lhe o seu mundo.

From up here, the square can see everything:

Lá de cima, o quadrado vê tudo:

the shapes of buildings,

as formas dos edifícios,

all the precious gems hidden in the Earth,

todas as pedras preciosas escondidas na Terra,

and even the insides of his friends,

e até o interior dos seus amigos,

which is probably pretty awkward.

o que provavelmente é muito inconveniente.

Once the hapless square

Depois de o pobre quadrado se familiarizar com a terceira dimensão,

comes to terms with the third dimension,

he begs his host to help him

pede ao seu anfitrião que o ajude a visitar

visit the fourth and higher dimensions,

a quarta dimensão e outras maiores.

but the sphere bristles at the mere suggestion

Mas a esfera reage mal a essa simples sugestão

of dimensions higher than three

de haver mais do que três dimensões

and exiles the square back to Flatland.

e reenvia o quadrado para Flatland.

Now, the sphere's indignation is understandable.

A indignação da esfera é compreensível.

A fourth dimension is very difficult

Uma quarta dimensão é muito difícil

to reconcile with our experience of the world.

de reconciliar com a nossa experiência do mundo

Short of being lifted into the fourth dimension

Se não formos levados para a quarta dimensão,

by visiting hypercube,

para visitar um hipercubo,

we can't experience it,

não podemos experimentá-la, mas podemos chegar lá perto.

but we can get close.

You'll recall that when the sphere

Lembram-se quando a esfera

first visited the second dimension,

visitou pela primeira vez a segunda dimensão?

he looked like a series of circles

Parecia uma série de círculos

that started as a point

que começavam num ponto de contacto com Flatland,

when he touched Flatland,

grew bigger until he was halfway through,

ficavam maiores quando ela ia a meio do caminho

and then shrank smaller again.

e depois voltavam a encolher.

We can think of this visit

Podemos pensar nesta visita

as a series of 2D cross-sections of a 3D object.

como uma série de cortes transversais 2D dum objeto a 3D.

Well, we can do the same thing

Podemos fazer o mesmo

in the third dimension with a four-dimensional object.

na terceira dimensão com um objeto de quatro dimensões.

Let's say that a hypersphere

Suponhamos que uma hiperesfera

is the 4D equivalent of a 3D sphere.

é o equivalente em 4D duma esfera a 3D.

When the 4D object passes through the third dimension,

Quando o objeto a 4D passa pela terceira dimensão,

it'll look something like this.

parece uma coisa assim.

Let's look at one more way

Vejamos uma outra maneira

of representing a four-dimensional object.

de representar um objeto a quatro dimensões.

Let's say we have a point,

Suponhamos que temos um ponto, uma forma com zero dimensões.

a zero-dimensional shape.

Now we extend it out one inch

Agora esticamo-lo 2 centímetros

and we have a one-dimensional line segment.

e temos um segmento de linha unidimensional.

Extend the whole line segment by an inch,

Estiquemos esse segmento 2 centímetros

and we get a 2D square.

e obtemos um quadrado a 2D.

Take the whole square and extend it out one inch,

Estiquemos esse quadrado 2 centímetros,

and we get a 3D cube.

e obtemos um cubo a 3D.

You can see where we're going with this.

Estão a ver onde queremos chegar.

Take the whole cube

Agarrem no cubo e estiquem-no 2 centímetros,

and extend it out one inch,

this time perpendicular to all three existing directions,

desta vez, na perpendicular a todas as três direções existentes,

and we get a 4D hypercube,

e obtemos um hipercubo a 4D,

also called a tesseract.

também chamado um tesserato.

For all we know,

Tanto quanto sabemos,

there could be four-dimensional lifeforms

pode haver formas de vida a quatro dimensões algures por aí,

somewhere out there,

occasionally poking their heads

porventura a meter o nariz no nosso agitado mundo 3D

into our bustling 3D world

and wondering what all the fuss is about.

surpreendidas com toda esta discussão.

In fact, there could be whole

Na verdade, pode haver outros mundos de quatro dimensões,

other four-dimensional worlds

beyond our detection,

que não podemos detetar,

hidden from us forever

invisíveis para nós, permanentemente,

by the nature of our perception.

pela natureza da nossa perceção.

Doesn't that blow your little spherical mind?

Isso não faz explodir o vosso cerebrozinho esférico?