An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

كيف تبرهن نظرية رياضية

المترجم: Omar Aljubbah المدقّق: Anwar Dafa-Alla

What is proof?

ماهو البرهان ؟

And why is it so important in mathematics?

ولماذا هو ضروري في الرياضيات

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

توفر البراهين اساسا متيناً للرياضيات

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

الرياضيون المنطقيون والإحصائيين ،

والاقتصاديين والمعماريين والمهندسين والعديد من الاخرين

and many others to build and test their theories on.

ليبنوا ويقوموا بتجربة نظرياتهم عليها

And they're just plain awesome!

وتعتمد على البساطة رائع !

Let me start at the beginning.

دعني ابدا من البداية

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

سأعرض لكم زميل اسمه إقليدس!

As in, "here's looking at you, Clid."

كما لو أنه ينظر اليكم، كليد.

He lived in Greece about 2,300 years ago,

عاش في اليونان منذ 2300 سنة

and he's considered by many to be the father of geometry.

وقد رشح من الكثيرين ليصبح رب الهندسة

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

لذا ان كنت تتسال اين ترسل بريد المعجبين بالهندسة

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

اقليدس هو صاحب الفضل في اصطناع البراهين

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

اقليدس ليس مشهوراّ بسبب اختراعاته او اكتشافاته بالرياضيات

but he revolutionized the way in which it is written,

لكنه احدث ثورة في طريقة كتابتها

presented, and thought about.

وعرضها والتعبير عنها

لقد عرض قوانين الرياضيات بترسيخ قوانين اللعبة

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

These rules of the game are called axioms.

هذه القواعد تدعى المسّلمات

Once you have the rules,

بمجرد معرفتك بالقاعدة

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

يجب عليك استخدامهن لبرهان ما تعتقده صحيحا

If you can't, then your theorem or idea

إن لم تستطع فنظريتك اوفكرتك

might be false.

ربما تكون خاطئة

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

واذا كانت نظريتك خاطئة فكل النظريات

المبنية عليها ربما خاطئة !

might be false too.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

عضاضة واحدة في المكان الخاطئ يمكن ان توقع المنزل باكمله

So that's all that proofs are:

إذا فالبراهين هي :

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

استخدام قواعد اساسية لاثبات وترسيخ النظريات على انها صحيحة

Then you use those theorems like blocks

ثم استخدام تلك النظريات ككتل

to build mathematics.

لبناء الرياضيات !

Let's check out an example.

لنعرض مثالاً

Say I want to prove that these two triangles

لنفرض اني اريد اثبات ان هذين المثلثين

are the same size and shape.

لديهم نفس الحجم والشكل

In other words, they are congruent.

بمعنى اخر متطابقين

Well, one way to do that is to write a proof

الطريقة الوحيدة لفعل هذا هو كتابة برهان

that shows that all three sides of one triangle

الذي سيبين ان الجوانب الثلاثة للمثلث الاول

are congruent to all three sides of the other triangle.

متطابقة من الجوانب الثلاثة للمثلث الثاني

So how do we prove it?

إذا كيف سنثبت ذلك ؟

First, I'll write down what we know.

أولا سأكتب الشيء الذي أعلمه

We know that point M is the midpoint of AB.

نعلم ان النقطة M في وسط الضلع AB

We also know that sides AC and BC are already congruent.

ونعلم ان الضلعين AC و BC متطابقين

Now let's see. What does the midpoint tell us?

لنرى، كيف يمكننا الاستفادة من نقطة الوسط M

Luckily, I know the definition of midpoint.

لحسن الحظ، انا اعلم تعريف نقطة الوسط

It is basically the point in the middle.

ببساطة هي النقطة التي تقع في الوسط

What this means is that AM and BM are the same length,

والذي يعني ان AM و BM لهما نفس الطول

since M is the exact middle of AB.

طالما أن M تقع في وسط AB

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

بمعنى أخر, فإن الضلع الاسفل في كلا المثلثين متطابق

I'll put that as step two.

سوف أضع هذا كخطوة ثانية

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

ممتاز! حتى الان لدي زوجين من الاضلاع متساويين

The last one is easy.

الضلع الاخير سهل

The third side of the left triangle

الضلع الثالث من المثلث الايسر هو CM

is CM, and the third side of the right triangle is -

والضلع الثالث من المثلث الايمن

well, also CM.

هو أيضا CM !

They share the same side.

إنهما يتشاركان بنفس الضلع

Of course it's congruent to itself!

بالطلع الضلع يطابق نفسه !

This is called the reflexive property.

هذا مايسمى بالبرهان العكسي

Everything is congruent to itself.

كل شيء مطابق لنفسه

I'll put this as step three.

سوف اضع ذلك كخطوة ثالثة

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

!! ها قد أثبتنا ان الاضلع الثلاثة للمثلث الايسر

are congruent to all three sides of the right triangle.

متطابقة مع الاضلع الثلاثة للمثلث الايمن

Plus, the two triangles are congruent

بالاضافة الى ان كلا المثلثين متطابقين

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

عن طريق نظرية التطابق ضلع-ضلع-ضلع للمثلث

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

بعد ما انتهينا من البرهان, يسعدني ان افعل مافعل اقليدس

He marked the end of a proof with the letters QED.

علم نهاية البرهان بالاحرف الثلاثة QED

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

اختصار لاتيني

which translates literally to

والذي يعني :

"what was to be proven."

وهو المطلوب

But I just think of it as "look what I just did!"

ولكني افكر في نفسي أنظر الى ماذا فعلت !

I can hear what you're thinking:

استطيع سماع ما تفكر به

why should I study proofs?

لماذا علي ان ادرس البراهين

One reason is that they could allow you to win any argument.

سبب وحيد هو انك ستستطيع ان تنتصر في أي نقاش

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

ابراهيم لينكون، احد اعظم القادة في التاريخ

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

اعتاد ان يحتفظ بنسخة لكتابات اقليدس في الطاولة الخلفية !

to keep his mind in shape.

ليحافظ على مرونة عقله (نباهته)

Another reason is you can make a million dollars.

سبب اخر هو انك تستطيع الحصول على مليون دولار !

You heard me.

لقد سمعتني .

One million dollars.

مليون دولار !

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

هذه مكافأة معهد "Clay Mathematics" في Massachusetts

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

يدفعها لأي شخص يقوم ببرهان نظرية من مجموعة نظريات غير مبرهنة

that it calls "the millenium problems."

هذا مايسمى "بمشاكل الالفية"

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

بعض منها قد تم حلها في التسعينيات وفي 2000

But beyond money and arguments,

ولكن ما وراء المال والمجادلات

proofs are everywhere.

البراهين في كل مكان

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

انها وراء المعمورات ، الرسومات، برامج الكمبيوتر ، وامان شبكة الانترنت

If no one understood or could generate a proof,

ان لم يستطع احد فهم او ابتكار برهان

we could not advance these essential parts of our world.

لن نستطيع تقديم هذه الاقسام الاساسية في عالمنا

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

اخيرا, كلنا نعلم ان البرهان في طبق من الحلوى

And pudding is delicious. QED.

وطبق الحلوى لذيذ ! وهو المطلوب .