An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Μετάφραση: Christos Selemeles Επιμέλεια: Chryssa R. Takahashi

What is proof?

Τι είναι οι αποδείξεις;

And why is it so important in mathematics?

Και γιατί είναι τόσο σημαντικές για τα μαθηματικά;

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Οι αποδείξεις παρέχουν στέρεα θεμέλια στους μαθηματικούς

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

λογικούς επιστήμονες, στατιστικολόγους, οικονομολόγους, αρχιτέκτονες, μηχανικούς

and many others to build and test their theories on.

και πολλούς άλλους για να οικοδομήσουν και να δοκιμάσουν τις θεωρίες τους.

And they're just plain awesome!

Και είναι απλώς υπέροχες!

Let me start at the beginning.

Ας ξεκινήσω από την αρχή.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Θα σας συστήσω έναν τύπο, που ονομαζόταν Ευκλείδης.

As in, "here's looking at you, Clid."

Όπως λέμε μύδι, φίδι, Ευκλείδη.

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Έζησε στην Ελλάδα πριν από περίπου 2.300 χρόνια

and he's considered by many to be the father of geometry.

και θεωρείται από πολλούς ο πατέρας της Γεωμετρίας.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Αν αναρωτιόσασταν ποια είναι η διεύθυνση του φαν κλαμπ της Γεωμετρίας,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια δέχεται τις ευχαριστίες για τις αποδείξεις.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Ο Ευκλείδης δεν είναι γνωστός τόσο για πολλές μαθηματικές ανακαλύψεις,

but he revolutionized the way in which it is written,

αλλά έφερε επανάσταση στον τρόπο με τον οποίο τα γράφουμε,

presented, and thought about.

τα παρουσιάζουμε και τα σκεφτόμαστε.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Ο Ευκλείδης ξεκίνησε να τυποποιήσει τα Μαθηματικά

καθορίζοντας τους κανόνες του παιχνιδιού.

These rules of the game are called axioms.

Αυτοί οι κανόνες του παιχνιδιού ονομάζονται «αξιώματα».

Once you have the rules,

Από τη στιγμή που έχετε τους κανόνες,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

ο Ευκλείδης λέει να τους χρησιμοποιήσετε

για να αποδείξετε ό,τι νομίζετε πως ισχύει.

If you can't, then your theorem or idea

Αν δεν μπορείτε, τότε το θεώρημα ή η ιδέα ίσως δεν ισχύει.

might be false.

Και αν το θεώρημά σας δεν ισχύει, τότε όσα θεωρήματα το χρησιμοποιούν,

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

might be false too.

ίσως είναι επίσης λάθος.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Όπως μία κολόνα σε λάθος μέρος, μπορεί να γκρεμίσει ένα ολόκληρο σπίτι.

So that's all that proofs are:

Αυτό είναι όλο κι όλο οι αποδείξεις·

η χρήση καθιερωμένων κανόνων

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

για να αποδείξετε πέρα από κάθε αμφιβολία την ισχύ ενός θεωρήματος

Then you use those theorems like blocks

Μετά χρησιμοποιείτε αυτά τα θεωρήματα ως δομικά υλικά

to build mathematics.

για να χτίσετε τα μαθηματικά.

Let's check out an example.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Say I want to prove that these two triangles

Ας πούμε, ότι θέλω να αποδείξω πως αυτά τα δύο τρίγωνα

are the same size and shape.

έχουν το ίδιο μέγεθος και σχήμα.

In other words, they are congruent.

Με άλλα λόγια, ότι είναι ίσα.

Well, one way to do that is to write a proof

Μπορείτε να το κάνετε γράφοντας μια απόδειξη,

that shows that all three sides of one triangle

που δείχνει ότι και οι τρεις πλευρές του ενός τριγώνου

are congruent to all three sides of the other triangle.

είναι ίσες με τις τρεις πλευρές του άλλου τριγώνου.

So how do we prove it?

Πώς το αποδεικνύουμε, λοιπόν;

First, I'll write down what we know.

Πρώτα, θα γράψω ό,τι γνωρίζουμε.

We know that point M is the midpoint of AB.

Γνωρίζουμε ότι το σημείο M είναι το μέσο του AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Επίσης γνωρίζουμε ότι οι πλευρές AC και BC είναι ήδη ίσες.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Για να δούμε τώρα. Τι σημαίνει «μέσο»;

Luckily, I know the definition of midpoint.

Ευτυχώς, γνωρίζω τον ορισμό του μέσου.

It is basically the point in the middle.

Βασικά είναι… το σημείο στη μέση.

What this means is that AM and BM are the same length,

Αυτό σημαίνει ότι τα AM και BM έχουν το ίδιο μήκος,

since M is the exact middle of AB.

αφού το M βρίσκεται ακριβώς στο μέσο του AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

Με άλλα λόγια, οι κάτω πλευρές των δύο τριγώνων είναι ίσες.

I'll put that as step two.

Το ονομάζω βήμα 2.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Ωραία! Μέχρι στιγμής έχω δύο ζεύγη πλευρών που είναι ίσα.

The last one is easy.

Το τελευταίο βήμα είναι εύκολο.

The third side of the left triangle

Η τρίτη πλευρά του αριστερού τριγώνου είναι η CM

is CM, and the third side of the right triangle is -

και η τρίτη πλευρά του δεξιού τριγώνου είναι… επίσης η CM.

well, also CM.

They share the same side.

Έχουν κοινή πλευρά.

Of course it's congruent to itself!

Φυσικά είναι ίση με τον εαυτό της!

This is called the reflexive property.

Αυτό ονομάζεται ανακλαστική ιδιότητα.

Ο,τιδήποτε είναι ίσο με τον εαυτό του.

Everything is congruent to itself.

I'll put this as step three.

Το καταγράφω ως βήμα 3.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Ταρατατά! Μόλις αποδείξατε ότι και οι τρεις πλευρές του αριστερού τριγώνου

are congruent to all three sides of the right triangle.

ισούνται με τις τρεις πλευρές του δεξιού τριγώνου.

Plus, the two triangles are congruent

Επίσης, ότι τα δύο τρίγωνα είναι ίσα

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

χάρη στο θεώρημα ισότητας τριγώνων με τρεις ίσες πλευρές.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Όταν τελειώνω μία απόδειξη, μου αρέσει να κάνω ό,τι κι ο Ευκλείδης.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Σημείωνε το τέλος μιας απόδειξης με τα γράμματα ὅ.ἔ.δ.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

Είναι αρχαία Ελληνικά και σημαίνει «ὅπερ ἔδει δεῖξαι»,

which translates literally to

που μεταφράζεται κυριολεκτικά σε «το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί».

"what was to be proven."

But I just think of it as "look what I just did!"

Αλλά εγώ το σκέφτομαι σαν «δείτε τι έκανα μόλις!»

I can hear what you're thinking:

Ακούω τι σκέφτεστε·

why should I study proofs?

γιατί να μελετήσω τις αποδείξεις;

One reason is that they could allow you to win any argument.

Ένας λόγος είναι ότι μπορεί να σας βοηθήσουν να κερδίσετε μια λογομαχία.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Ο Αβραάμ Λίνκολν, από τους σπουδαιότερους ηγέτες των ΗΠΑ όλων των εποχών,

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

είχε ένα αντίτυπο των Στοιχείων του Ευκλείδη στο κομοδίνο του

to keep his mind in shape.

για να διατηρεί την οξύνοιά του.

Another reason is you can make a million dollars.

Ένας άλλος λόγος είναι για να κερδίσετε 1.000.000 δολάρια.

You heard me.

Καλά ακούσατε. Ένα εκατομμύριο δολάρια!

One million dollars.

Αυτό είναι το ποσό που το Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι στη Μασαχουσέτη

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

προτίθεται να πληρώσει σε όποιον αποδείξει μία από τις πολλές αναπόδεικτες θεωρίες,

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

that it calls "the millenium problems."

που ονομάζει «προβλήματα της χιλιετίας».

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Κάποια από αυτά λύθηκαν κατά τις δεκαετίες του 1990 και 2000.

But beyond money and arguments,

Αλλά πέρα από χρήματα και λογομαχίες,

proofs are everywhere.

οι αποδείξεις βρίσκονται παντού.

Σε αυτές βασίζονται η Αρχιτεκτονική, η Τέχνη, ο Προγραμματισμός Η/Υ

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

και η Ασφάλεια Δικτύων.

If no one understood or could generate a proof,

Αν κανείς δεν καταλάβαινε ή δεν έφτιαχνε αποδείξεις,

we could not advance these essential parts of our world.

δεν θα μπορούσαμε να προχωρήσουμε

αυτούς τους απαραίτητους τομείς του κόσμου μας.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Τέλος, όλοι γνωρίζουμε ότι η απόδειξη είναι το κερασάκι στην τούρτα

And pudding is delicious. QED.

και το κερασάκι είναι πεντανόστιμο.

ο.ε.δ.