An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

כיצד מוכיחים תיאוריה מתמטית - סקוט קנדי

תרגום: Yifat Adler עריכה: Ido Dekkers

What is proof?

מהי הוכחה?

And why is it so important in mathematics?

ומדוע היא כל כך חשובה במתמטיקה?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

הוכחות מספקות בסיס מוצק למתמטיקאים,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

לוגיקאים, סטטיסטיקאים, כלכלנים, ארכיטקטים, מהנדסים ורבים אחרים

and many others to build and test their theories on.

כדי לבנות את התיאוריות שלהם וכדי לבחון אותן.

And they're just plain awesome!

והן פשוט מגניבות!

Let me start at the beginning.

נתחיל בהתחלה.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

אציג בפניכם בחור בשם אוקלידס.

As in, "here's looking at you, Clid."

שם מגניב. אה?

He lived in Greece about 2,300 years ago,

הוא חי ביוון לפני כ-2,300 שנים,

and he's considered by many to be the father of geometry.

והוא נחשב ע"י רבים כאבי הגיאומטריה.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

אז אם אתם תוהים לאן לשלוח את מכתבי ההערצה הגיאומטריים שלכם,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

לאוקלידס מאלכסנדריה מגיעות תודות על ההוכחות.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

אוקלידס לא ידוע כממציא או מגלה בתחום המתמטיקה

but he revolutionized the way in which it is written,

אבל הוא עשה מהפכה בדרך הכתיבה שלה,

presented, and thought about.

ההצגה שלה והמחשבה עליה.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

אוקלידס הפך את המתמטיקה לפורמלית כשקבע את חוקי המשחק.

These rules of the game are called axioms.

חוקי המשחק האלה נקראים אקסיומות.

Once you have the rules,

ברגע שהחוקים ידועים,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

אוקלידס אומר שיש להשתמש בהם כדי להוכיח כל טענה שאתם חושבים שהיא נכונה.

If you can't, then your theorem or idea

אם אינכם מצליחים להוכיח, אז המשפט או הרעיון שלכם

might be false.

עלולים להיות שקריים.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

ואם המשפט שלכם שקרי, אז כל המשפטים שמתבססים עליו

might be false too.

עלולים גם הם להיות שקריים.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

כמו שקורה תומכת אחת שלא מונחת כראוי עלולה לגרום לקריסת הבניין כולו.

So that's all that proofs are:

הוכחות הן בסך הכל:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

שימוש בחוקים מבוססים היטב כדי להוכיח מעבר לכל ספק שמשפט כלשהו נכון.

Then you use those theorems like blocks

ואז משתמשים במשפטים האלה כמו באבני בניין

to build mathematics.

כדי לבנות את המתמטיקה.

Let's check out an example.

נבדוק דוגמא.

Say I want to prove that these two triangles

נניח שאני רוצה להוכיח ששני המשולשים האלה

are the same size and shape.

הם באותו גודל ובאותה צורה.

In other words, they are congruent.

במילים אחרות, הם חופפים.

Well, one way to do that is to write a proof

דרך אחת היא לכתוב הוכחה

that shows that all three sides of one triangle

שמראה שכל שלוש הצלעות של משולש אחד

are congruent to all three sides of the other triangle.

חופפות לכל שלוש הצלעות של המשולש השני.

So how do we prove it?

ואיך נוכיח זאת?

First, I'll write down what we know.

ראשית, אני אכתוב את מה שידוע לנו.

We know that point M is the midpoint of AB.

אנחנו יודעים שהנקודה M היא האמצע של AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

אנחנו גם יודעים שהצלעות AC ו-BC כבר חופפות.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

נבדוק כעת מה משמעות נקודת האמצע?

Luckily, I know the definition of midpoint.

למרבית המזל, אני יודע מהי ההגדרה של נקודת אמצע.

It is basically the point in the middle.

היא פשוט הנקודה שנמצאת באמצע.

What this means is that AM and BM are the same length,

ופירוש הדבר הוא ש-AM ו-BM הם באותו האורך,

since M is the exact middle of AB.

מכיוון ש-M נמצאת בדיוק באמצע של AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

במילים אחרות, הצלעות התחתונות של שני המשולשים שלנו חופפות.

I'll put that as step two.

נרשום זאת כשלב מספר 2.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

נהדר! בנתיים יש לנו שתי זוגות של צלעות חופפות.

The last one is easy.

הצלע האחרונה קלה.

The third side of the left triangle

הצלע השלישית של המשולש השמאלי היא CM,

is CM, and the third side of the right triangle is -

והצלע השלישית של המשולש הימני היא,

well, also CM.

ובכן, גם כן CM.

They share the same side.

למשולשים יש צלע משותפת.

Of course it's congruent to itself!

וכמובן שהיא חופפת לעצמה.

This is called the reflexive property.

זה נקרא תכונת הרפלקסיביות.

Everything is congruent to itself.

כל דבר חופף לעצמו.

I'll put this as step three.

נרשום זאת כשלב מספר 3.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

טדה! הרגע הוכחתם שכל שלוש הצלעות של המשולש השמאלי

are congruent to all three sides of the right triangle.

חופפות לכל שלוש הצלעות של המשולש הימני.

Plus, the two triangles are congruent

בנוסף, שני המשולשים חופפים

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

לפי משפט צלע-צלע-צלע לחפיפת משולשים.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

וכשההוכחה מסתיימת, אני אוהב לעשות את מה שאוקילדס היה נוהג לעשות.

He marked the end of a proof with the letters QED.

הוא סימן את סיום ההוכחה באותיות QED (ובעברית מ.ש.ל.).

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

זהו קיצור של הלטינית "quod erat demonstrandum,"

which translates literally to

שפירושו המילולי הוא

"what was to be proven."

"מה שרצינו להוכיח."

But I just think of it as "look what I just did!"

אבל אני מפרש זאת כ"תראו מה הצלחתי לעשות כרגע!"

I can hear what you're thinking:

אני שומע את המחשבות שלכם:

why should I study proofs?

למה לנו ללמוד הוכחות?

One reason is that they could allow you to win any argument.

סיבה אחת היא שהן יכולות לאפשר לכם לנצח בכל ויכוח.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

אברהם לינקולן, אחד מגדולי המנהיגים של ארה"ב בכל הזמנים,

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

נהג לשמור עותק של הספר "יסודות" של אוקלידס על השידה לצד מיטתו

to keep his mind in shape.

כדי לשמור על חדות שכלו.

Another reason is you can make a million dollars.

סיבה נוספת היא שתוכלו להרוויח מיליון דולר.

You heard me.

כן. שמעתם נכון.

One million dollars.

מיליון דולר.

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

זהו הפרס שמכון קליי למתמטיקה במסצ'וסטס

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

מוכן לשלם לכל מי שיוכיח אחד מהמשפטים הלא מוכחים הרבים

that it calls "the millenium problems."

הנקראים "בעיות המילניום."

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

כמה משפטים כאלה הוכחו בשנות ה-90 של המאה שעברה ובשנות האלפיים.

But beyond money and arguments,

אבל מעבר לכסף ולוויכוחים,

proofs are everywhere.

ההוכחות נמצאות בכל מקום.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

הם מהוות בסיס לארכיטקטורה, אומנות, תכנות ואבטחת האינטרנט.

If no one understood or could generate a proof,

אם אף אחד לא היה יכול להבין הוכחות או לייצר אותן,

we could not advance these essential parts of our world.

לא היינו יכולים להתקדם בתחומים חיוניים אלה.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

ולבסוף, ללא הוכחות לא היה קיימים מחשבים וטלפונים ניידים.

And pudding is delicious. QED.

הייתם מוכנים לוותר עליהם? מ.ש.ל.