An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

วิธีการพิสูจน์ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ - สก็อต เคนเนดี้

Translator: Suwitcha Chandhorn Reviewer: chattima tiraphongprasert

What is proof?

การพิสูจน์คืออะไร?

And why is it so important in mathematics?

และทำไมมันจึงสำคัญนักกับคณิตศาสตร์?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

การพิสูจน์มอบรากฐานอันหนักแน่นให้กับนักคณิตศาสตร์

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

นักตรรกวิทยา นักสถิติ นักเศรษฐศาสตร์ สถาปนิก วิศวกร

and many others to build and test their theories on.

และวิชาชีพอื่นๆ เพื่อที่จะสร้างและทดสอบทฤษฎีต่างๆของตนเอง

And they're just plain awesome!

และมันยอดเยี่ยมอย่างไม่ต้องสงสัย!

Let me start at the beginning.

ให้ผมเริ่มเล่าจากตอนต้นเลยก็แล้วกัน

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

ผมขอแนะนำให้คุณรู้จักเพื่อนคนหนึ่งที่ชื่อ อูคลิด

As in, "here's looking at you, Clid."

ออกเสียงคล้ายๆกับ "ผมมองคุณอยู่นะ คลิด"

He lived in Greece about 2,300 years ago,

เขาอาศัยอยู่ในกรีซเมื่อราวๆ 2,300 ปีที่แล้ว

and he's considered by many to be the father of geometry.

และเขาได้รับการยอมรับจากหลายๆคนว่าเป็นบิดาแห่งเรขาคณิต

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

เพราะงั้น ถ้าคุณสงสัยว่าจะส่งเมลชื่นชมเรื่องนี้ไปที่ไหน

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

อูคลิดแห่งอเล็คซานเดรีย คือผู้ที่คุณต้องขอบคุณสำหรับข้อพิสูจน์นี้

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

อูคลิด ไม่ดังเรื่องสร้างหรือค้นพบคณิตศาสตร์จำนวนมากๆ

but he revolutionized the way in which it is written,

แต่เขาปฏิวัติวิธีการที่จะเขียน

presented, and thought about.

นำเสนอ และคิดคำนึงถึงคณิตศาสตร์เหล่านั้น

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

อูคลิด ทำให้คณิตศาสตร์เป็นทางการด้วยการออกกฏต่างๆให้กับมัน

These rules of the game are called axioms.

กฏแห่งคณิตศาสตร์เหล่านี้เรียกว่า สัจพจน์

Once you have the rules,

เมื่อคุณมีกฏแล้ว

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

อูคลิด บอกว่าคุณต้องใช้มันในการพิสูจน์ว่าสิ่งที่คุณคิดเป็นจริง

If you can't, then your theorem or idea

ถ้าทำไม่ได้ ทฤษฎีบทหรือแนวคิดของคุณ

might be false.

ก็อาจจะผิด

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

และถ้าทฤษฎีบทของคุณผิด ทฤษฎีบทต่างๆที่ตามมาและใช้มัน

might be false too.

ก็อาจจะผิดด้วย

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

คล้ายกับคานที่วางผิดที่หนึ่งแห่ง ทำให้บ้านถล่มได้

So that's all that proofs are:

และนั่นคือสิ่งที่เรียกว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

กฏที่คิดมาอย่างดี เพื่อพิสูจน์ความสงสัย ในทฤษฎีบทว่าเป็นจริงหรือไม่

Then you use those theorems like blocks

จากนั้นคุณใช้ทฤษฎีบทเหล่านั้นเป็นกลุ่มก้อน

to build mathematics.

เพื่อสร้างคณิตศาสตร์

Let's check out an example.

ลองมาดูตัวอย่างกันดีกว่า

Say I want to prove that these two triangles

ผมต้องการพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมสองรูปนี้

are the same size and shape.

มีขนาดและรูปทรงเหมือนกัน

In other words, they are congruent.

หรืออีกนัยหนึ่ง พวกมันเหมาะเจาะกันพอดี

Well, one way to do that is to write a proof

วิธีหนึ่งที่จะทำได้ก็คือการเขียนข้อพิสูจน์

that shows that all three sides of one triangle

ที่แสดงให้เห็นว่าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมหนึ่ง

are congruent to all three sides of the other triangle.

เข้ากันได้กับด้านทั้งสามของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง

So how do we prove it?

เราจะพิสูจน์มันได้อย่างไร?

First, I'll write down what we know.

อย่างแรก เราเขียนสิ่งที่รู้ออกมาก่อน

We know that point M is the midpoint of AB.

เรารู้ว่าจุด M คือกึ่งกลางระหว่าง A กับ B

We also know that sides AC and BC are already congruent.

เรายังรู้อีกว่าด้าน AC และ BC นั้นเท่ากัน

Now let's see. What does the midpoint tell us?

คราวนี้มาดูกันว่า จุดกึ่งกลางจะบอกอะไรเรา?

Luckily, I know the definition of midpoint.

โชคดีที่ ผมรู้คำจำกัดความของจุดกึ่งกลาง

It is basically the point in the middle.

มันคือจุดที่อยู่ตรงกลางนั่นเอง

What this means is that AM and BM are the same length,

มันหมายความว่าด้าน AM และ BM มีความยาวเท่ากัน

since M is the exact middle of AB.

เมื่อ M อยู่ที่กึ่งกลางระหว่าง A กับ B พอดี

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

หรือในอีกนัยหนึ่ง ด้านล่างของสามเหลี่ยมทั้งสองของเราเหมือนกัน

I'll put that as step two.

เราจะนับนั่นเป็นขั้นตอนที่ 2

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

เยี่ยม ตอนนี้ผมมีด้านสองคู่ที่เข้ากันได้แล้ว

The last one is easy.

อันสุดท้ายนี่ง่ายเลย

The third side of the left triangle

ด้านที่สามของสามเหลี่ยมทางซ้าย

is CM, and the third side of the right triangle is -

คือ CM และด้านที่สามของสามเหลี่ยมทางขวาคือ

well, also CM.

ก็ CM

They share the same side.

พวกมันมีขนาดเดียวกัน

Of course it's congruent to itself!

แน่นอน มันสอดคล้องกันโดยตัวมันเอง

This is called the reflexive property.

มันเรียกว่าคุณสมบัติสะท้อน

Everything is congruent to itself.

ทุกอย่างสอดคล้องกันกับตัวของมันเอง

I'll put this as step three.

ผมจะนับนี่เป็นขั้นตอนที่ 3

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

ไชโย! คุณเพิ่งจะพิสูจน์ได้ว่าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมทางซ้าย

are congruent to all three sides of the right triangle.

เข้ากันได้กับด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมทางขวา

Plus, the two triangles are congruent

และ สามเหลี่ยมทั้งคู่เข้ากันได้

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

เพราะทฤษฎีบทการเข้ากันได้ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

เมื่อสิ้นสุดการพิสูจน์ ผมอยากจะทำอย่างที่อูคลิดทำ

He marked the end of a proof with the letters QED.

เขาทำเครื่องหมายท้ายข้อพิสูจน์ด้วยอักษร "ซ.ต.พ." (QED)

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

ซึ่งมาจากภาษาละตินที่ว่า "quod erat demonstrandum"

which translates literally to

ซึ่งแปลตามตัวอักษรว่า

"what was to be proven."

"ซึ่งต้องพิสูจน์" นั่นเอง

But I just think of it as "look what I just did!"

แต่ผมแค่คิดถึงมันในเชิงว่า "ดูสิ ฉันทำได้แล้ว"

I can hear what you're thinking:

ผมได้ยินสิ่งที่คุณคิด

why should I study proofs?

ทำไมฉันควรจะเรียนเรื่องการพิสูจน์ล่ะ?

One reason is that they could allow you to win any argument.

เหตุผลหนึ่งคือพวกมันช่วยให้คุณชนะการถกเถียง

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

อับบราฮัม ลินคอร์น ผู้นำที่ยอดเยี่ยมตลอดกาลคนหนึ่งของเรา

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

เคยเก็บหนังสือความรู้เบื้องต้นของอูคลิดไว้ที่หัวเตียง

to keep his mind in shape.

เพื่อให้จิตใจของเขาเข้าที่เข้าทาง

Another reason is you can make a million dollars.

อีกเหตุผลหนึ่งคือคุณสามารถทำเงินได้เป็นล้านๆ

You heard me.

คุณได้ยินผมแล้วนี่

One million dollars.

เงินหนึ่งล้าน

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

นั่นคือเงินรางวัลที่สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ในแมสซาชูเซต

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

จะยอมจ่ายให้กับใครก็ได้ที่สามารถ พิสูจน์ทฤษฎีที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ต่างๆได้

that it calls "the millenium problems."

มันเรียกว่า "ปัญหาที่แก้ไม่ตก"

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

บางส่วนถูกแก้ได้ในระหว่างปี 90 และปี 2000

But beyond money and arguments,

แต่นอกเหนือจากเงินทองและการถกเถียง

proofs are everywhere.

การพิสูจน์อยู่ทุกหนแห่ง

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

พวกมันซ่อนอยู่ในสถาปัตยกรรม, ศิลปะ, โปรแกรมคอมพิวเตอร์ และการรักษาความปลอดภัยในอินเทอร์เน็ต

If no one understood or could generate a proof,

ถ้าไม่มีใครเข้าใจหรือสามารถสร้างข้อพิสูจน์ได้

we could not advance these essential parts of our world.

เราคงไม่สามารถขับเคลื่อนโลกของเราไปข้างหน้า

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

ท้ายที่สุด เราต่างรู้กันว่ามีข้อพิสูจน์อยู้ในขนมพุดดิ้ง (สำนวนฝรั่ง)

And pudding is delicious. QED.

และพุดดิ้งนั้นอร่อยเสมอ ซ.ต.พ.