An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Как да се докаже математическа теория - Скот Кенеди

Translator: Anton Hikov Reviewer: Yavor Ivanov

What is proof?

Какво е доказателството?

And why is it so important in mathematics?

И защо е толкова важно в математиката?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Доказателствата осигуряват солидна основа за математици,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

логици, статистици, икономисти, архитекти, инженери,

and many others to build and test their theories on.

и много други, да изградят и тестват техните теории.

And they're just plain awesome!

И те са просто страхотни!

Let me start at the beginning.

Нека да започнем от началото.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Ще ви запозная с един човек на име Евклид.

As in, "here's looking at you, Clid."

като в: "Ето, гледа към тебе, Клид."

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Той живял в Гърция преди около 2300 години

and he's considered by many to be the father of geometry.

и е считан от мнозина за бащата на геометрията.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Така че, ако сте се чудели на кого да изпратите вашата фен поща, посветена на геометрията,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

Евклид от Александрия е човекът, на когото трябва да благодарите за доказателствата.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Евклид не е наистина известен с изобретяването и откриването на много неща в математиката,

but he revolutionized the way in which it is written,

но той революционизирал начина, по който тя се описва,

presented, and thought about.

представя и обмисля.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Евклид се захванал да формализира математиката чрез установяване на правилата на играта.

These rules of the game are called axioms.

Тези правила на играта се наричат аксиоми.

Once you have the rules,

След като имате правилата,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

Евклид казва, трябва да ги използвате, за да докажете това, което мислите, че е вярно.

If you can't, then your theorem or idea

Ако не можете да го сторите, тогава вашите теорема или идея

might be false.

може да са погрешни.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

И ако вашата теорема е погрешна, тогава всички теореми, които идват след нея и я използват

might be false too.

може да са също погрешни.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Подобно на поставане неправилно на греда, която може да събори цялата къща.

So that's all that proofs are:

Така че това е всичко, което са доказателствата:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

използването на утвърдени правила за да се докаже, извън всяко съмнение, че някоя теорема е вярна.

Then you use those theorems like blocks

След това можете да използвате тези теореми като блокове

to build mathematics.

за да изградите математиката.

Let's check out an example.

Нека да разгледаме един пример.

Say I want to prove that these two triangles

Да речем, че искам да докажа, че тези два триъгълника

are the same size and shape.

са с еднакъв размер и форма.

In other words, they are congruent.

С други думи, че те са еднакви.

Well, one way to do that is to write a proof

Ами, един начин да направите това е да напишете доказателство,

that shows that all three sides of one triangle

което показва, че всичките три страни на един триъгълник

are congruent to all three sides of the other triangle.

са еднакви с всичките три страни на друг триъгълник.

So how do we prove it?

И така, как можем да го докажем?

First, I'll write down what we know.

Първо, ще запиша това, което знаем.

We know that point M is the midpoint of AB.

Ние знаем, че точката М е средата на AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Също така знаем, че страните AC и BC вече са еднакви.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Сега нека да видим. Какво ни казва средната точка?

Luckily, I know the definition of midpoint.

За щастие, аз знам определението за средна точка.

It is basically the point in the middle.

Това е в основата си точка по средата.

What this means is that AM and BM are the same length,

Какво означава това е, че AM и BM са със същата дължина,

since M is the exact middle of AB.

тъй като M е точно по средата на AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

С други думи, долните страни на всеки един от нашите триъгълници са еднакви.

I'll put that as step two.

Ще отбележа това като втора стъпка.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Чудесно! Засега имам две двойки страни, които са еднакви.

The last one is easy.

Последната стъпка е лесна.

The third side of the left triangle

Третата страна на левия триъгълник

is CM, and the third side of the right triangle is -

е CM, и третата страна на десния триъгълник е -

well, also CM.

ами също CM.

They share the same side.

Те споделят една и съща страна.

Of course it's congruent to itself!

Разбира се, че тя е еднаква със себе си!

This is called the reflexive property.

Това се нарича рефлексивно свойство.

Everything is congruent to itself.

Всичко е конгруентно на себе си.

I'll put this as step three.

Ще отбележа това като трета стъпка.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

И ето ви! Току що доказахте че всички три страни на левия триъгълник

are congruent to all three sides of the right triangle.

са еднакви с всички три страни на десния триъгълник.

Plus, the two triangles are congruent

Така че двата триъгълника са еднакви

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

поради теоремата за подобието на три страни в триъгълника.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Когато приключа с доказателство, обичам да правя това, което правил Евклид.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Той отбелязвал края на доказателство с буквите QED.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

Това е латински за "quod erat demonstrandum,"

which translates literally to

което се превежда буквално

"what was to be proven."

"каквото тряваше да се докаже."

But I just think of it as "look what I just did!"

Но просто си мисля за това като "вижте какво направих току що!"

I can hear what you're thinking:

Мога да ви чуя какво си мислите:

why should I study proofs?

Защо трябва да изучавам доказателства?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Една от причините е, че те може да ви помогнат да спечелите всеки аргумент.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Ейбрахам Линкълн, един от най-големите лидери на нашия народ за всички времена,

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

държал на нощното си шкафче копие от "Елементи" на Евклид,

to keep his mind in shape.

за да поддържа ума си във форма.

Another reason is you can make a million dollars.

Друга причина е, че можете да си изкарате един милион долара.

You heard me.

Чухте ме.

One million dollars.

Един милион долара.

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

Това е наградата, която математическият институт Клей в Масачузетс

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

е готов да плати на всеки, който може да докаже една от многото недоказани теории,

that it calls "the millenium problems."

които назовава "хилядолетни проблеми."

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Няколко от тях бяха решени през 90-те и 2000-те години.

But beyond money and arguments,

Но отвъд парите и аргументите,

proofs are everywhere.

доказателствата са навсякъде.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Те са залегнали в основата на архитектура, изкуство, компютърно програмиране и интернет сигурност.

If no one understood or could generate a proof,

Ако никой не разбираше, или не можеше да възпроизведе доказателство,

we could not advance these essential parts of our world.

нямаше да можем да постигнем напредък в тези основни части на нашия свят.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

И накрая, всички ние знаем, че доказателството е в пудинга.

And pudding is delicious. QED.

А пудингът е нещо вкусно. QED.