An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

수학 이론을 증명하는 방법 - 스콧 케네디(Scott Kennedy)

번역: Woo Hwang 검토: K Bang

What is proof?

증명이란 무엇일까요?

And why is it so important in mathematics?

그리고 증명이 왜 그렇게 수학에서 중요할까요?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

증명은 수학자, 논리학자, 통계학자, 경제학자, 건축가, 공학자,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

그리고 이론을 만들고 테스트하려는 모든 사람들에게

and many others to build and test their theories on.

아주 탄탄한 기반을 제공합니다.

And they're just plain awesome!

정말 대단하죠!

Let me start at the beginning.

맨 처음부터 시작해봅시다.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

제가 유클리드(Euclid)라는 친구를 소개하죠.

As in, "here's looking at you, Clid."

"클리드, 당신을 보고 있어요"

He lived in Greece about 2,300 years ago,

그는 2,300년전에 그리스에서 살았습니다,

and he's considered by many to be the father of geometry.

그리고 많은 사람들이 그를 기하학의 아버지라고 불렀습니다.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

그래서 여러분들이 기하학 팬레터를 어디로 보내야할지 궁금했다면,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

알렉산드리아에 있는 유클리드가 적당한 인물이겠군요.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

유클리드는 수학에서 많은 것을 만들거나 발견한 것으로는 유명하지 않습니다,

but he revolutionized the way in which it is written,

그렇지만 그는 수학을 쓰고, 표현하고 생각하는 것에 대한

presented, and thought about.

방법을 혁신적으로 만들었습니다.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

유클리드는 게임의 규칙을 만들어 수학을 공식화하기 시작했습니다.

These rules of the game are called axioms.

이런 게임들의 규칙을 공리라고 부릅니다.

Once you have the rules,

여러분들이 규칙을 갖게 되면, 유클리드는 여러분들이 참이라고 생각하는 것을

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

증명하는데 공리를 사용하라고 말합니다.

If you can't, then your theorem or idea

만약 공리를 사용할 수 없다면,

might be false.

여러분의 정리(Theorem)나 아이디어는 거짓일 수 있습니다.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

여러분들의 정리가 거짓이라면,

might be false too.

그 정리를 이용한 어떠한 정리도 거짓입니다.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

마치 잘못 세운 기둥 하나 때문에 집이 무너질수 있는 것과 같습니다.

So that's all that proofs are:

그것이 바로 증명이라는 것입니다:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

정리가 참인지 의심하는 것을 없애기 위해 잘 만들어진 규칙을 사용하는 것이 증명입니다.

Then you use those theorems like blocks

그래서 여러분들은 수학을 만들기 위해서

to build mathematics.

벽돌처럼 정리들을 사용하게 됩니다.

Let's check out an example.

한가지 예를 보죠.

Say I want to prove that these two triangles

이 두 개의 삼각형이 같은 크기와

are the same size and shape.

모양이라는 것을 증명하고 싶다고 해보죠.

In other words, they are congruent.

다시 말해, 두 삼각형은 합동이라는 것입니다.

Well, one way to do that is to write a proof

한 가지 방법은 한 삼각형의

that shows that all three sides of one triangle

모든 세변이 다른 삼각형의

are congruent to all three sides of the other triangle.

모든 세 변과 합동이라는 증명을 써보는 겁니다.

So how do we prove it?

그럼 어떻게 증명을 할까요?

First, I'll write down what we know.

먼저, 우리가 아는 점을 써보죠.

We know that point M is the midpoint of AB.

우리는 점 M이 변 AB의 중점이라는것을 알고 있습니다.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

그리고 우리는 변 AC와 변 BC는 이미 합동이라고 알고 있습니다.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

자 보죠. 중점 M에서 무엇을 알 수 있나요?

Luckily, I know the definition of midpoint.

운좋게도 저는 중점의 정의를 알고 있습니다.

It is basically the point in the middle.

기본적으로 중간에 있는 점이라는 말이죠.

What this means is that AM and BM are the same length,

이것이 AM과 BM은 길이가 같다는 것을 의미합니다,

since M is the exact middle of AB.

왜냐하면 M은 변 AB의 정확하게 중앙에 있으니까요.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

다시 말해서, 이 삼각형들의 밑변들은 합동입니다.

I'll put that as step two.

두번째 과정을 써보겠습니다.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

대단하죠! 지금까지 합동인 두쌍의 변을 알았어요.

The last one is easy.

마지막 부분은 쉽습니다.

The third side of the left triangle

왼쪽 삼각형의 세번째 변은 CM입니다,

is CM, and the third side of the right triangle is -

그리고 오른쪽 삼각형의 세번째 변 또한

well, also CM.

CM 입니다.

They share the same side.

두 삼각형은 같은 변을 공유하고 있네요.

Of course it's congruent to itself!

물론 그것 자체로 합동입니다!

This is called the reflexive property.

이런것을 재귀적 성질이라고 합니다.

Everything is congruent to itself.

모든 사물은 그 자신과 합동입니다.

I'll put this as step three.

이것을 세번째 과정에 쓰겠습니다.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

자! 여러분들은 왼쪽 삼각형의 모든 세변들이

are congruent to all three sides of the right triangle.

오른쪽 삼각형의 세변과 합동이라는 것을 증명했습니다.

Plus, the two triangles are congruent

게다가, 삼각형의 SSS 합동 정리로

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

두 삼각형은 합동입니다.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

증명을 끝냈을 때, 저는 유클리드가 했던 것을 따라하기 좋아합니다.

He marked the end of a proof with the letters QED.

유클리드는 증명의 끝에 QED라는 단어를 기입했습니다.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

그것은 라틴어로 "Quod Erat Demonstrandum"의 약자입니다,

which translates literally to

말 그대로 번역하면

"what was to be proven."

"증명되어진 것" 이라는 뜻입니다.

But I just think of it as "look what I just did!"

하지만 저는 그 뜻이 "내가 했던 것을 보라" 라고 생각되어집니다.

I can hear what you're thinking:

여러분들이 머리속에 생각하고 있는 것이 들리는군요.

why should I study proofs?

그럼 왜 증명을 공부해야할까요?

One reason is that they could allow you to win any argument.

한가지 이유는 증명이 여러분들을 논쟁에서 이길수 있도록 해줍니다.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

미국의 유명한 대통령이었던 에이브라함 링컨(Abraham Lincoln)은

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

마음이 흐트러지지 않게 하기 위해

to keep his mind in shape.

"원론"이라는 유클리드의 기하학 책을 책장 한 곳에 항상 두었습니다.

Another reason is you can make a million dollars.

또 다른 이유는 여러분들이 많은 돈을 벌 수 있습니다.

You heard me.

제 말 들으셨죠.

One million dollars.

백만달러(약 11억원)를 벌 수 있습니다.

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

매사츄세스(Massachusetts)에 있는 클레이 수학연구소(Clay Mathematics Institute)에서는

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

밀레니엄 문제(The Millenium Problems)라는 많은 미해결 이론들 가운데

that it calls "the millenium problems."

어떤 것이든 증명한 사람들에게 백만달러의 상금을 줍니다.

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

그 문제들중 몇가지는 90년대와 2000년대에 증명이 되었습니다.

But beyond money and arguments,

하지만 돈이나 논쟁을 떠나서

proofs are everywhere.

증명은 세상 어디에나 존재합니다.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

증명은 건축, 예술, 컴퓨터 프로그래밍 그리고 인터넷 보안에도 숨겨져 있습니다.

If no one understood or could generate a proof,

아무도 증명을 이해하지 못하거나, 해내지 못 한다면,

we could not advance these essential parts of our world.

사람들은 세상에서 꼭 필요한 부분들을 발전시킬 수 없게 됩니다.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

마지막으로, 우리는 증명은 푸딩에도 들어있다는 것을 알고 있습니다.

And pudding is delicious. QED.