An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Mafalda Ferreira

What is proof?

O que é uma demonstração?

And why is it so important in mathematics?

E porque é tão importante na matemática?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

As demonstrações dão aos matemáticos, aos lógicos, aos estatísticos,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

aos economistas, aos arquitetos, aos engenheiros e a muitos outros

and many others to build and test their theories on.

uma base sólida para criarem e testarem as suas teorias.

And they're just plain awesome!

E são fantásticas!

Let me start at the beginning.

Vou começar pelo princípio.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Apresento-vos um tipo chamado Euclides.

As in, "here's looking at you, Clid."

como em "here's looking at 'you'Clid' ".

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Viveu na Grécia há cerca de 2300 anos

and he's considered by many to be the father of geometry.

e é considerado por muita gente o Pai da Geometria.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Assim, se quiserem agradecer o vosso gosto pela geometria

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

agradeçam a Euclides da Alexandria as demonstrações.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Euclides não é conhecido por inventar ou descobrir muita matemática

but he revolutionized the way in which it is written,

mas revolucionou a forma como ela é escrita,

presented, and thought about.

é apresentada e é considerada.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Euclides tratou de formalizar a matemática instituindo as regras do jogo.

These rules of the game are called axioms.

Essas regras do jogo chamam-se axiomas.

Once you have the rules,

Depois de conhecermos as regras,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

Euclides diz que temos de as usar

para demonstrar que o que pensamos é verdade.

If you can't, then your theorem or idea

Se não o conseguirmos,

o nosso teorema ou ideia pode ser falso.

might be false.

Se o nosso teorema é falso, quaisquer teoremas que dele derivem

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

might be false too.

ou que o utilizem, também podem ser falsos.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Tal como uma viga mal colocada pode deitar abaixo toda a casa.

So that's all that proofs are:

É para isso que servem as demonstrações.

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

Usar regras bem sólidas para provar sem sombra de dúvida

que um teorema é verdadeiro.

Then you use those theorems like blocks

Depois, usamos esses teoremas como blocos

to build mathematics.

para construir a matemática.

Let's check out an example.

Vejamos um exemplo.

Say I want to prove that these two triangles

Digamos que quero provar que estes dois triângulos

are the same size and shape.

têm o mesmo tamanho e a mesma forma.

In other words, they are congruent.

Por outras palavras, são congruentes.

Well, one way to do that is to write a proof

Uma forma de o fazer é escrever uma prova

that shows that all three sides of one triangle

que mostre que os três lados de um triângulo

are congruent to all three sides of the other triangle.

são congruentes com os três lados do outro triângulo.

So how do we prove it?

Como é que demonstramos isso?

First, I'll write down what we know.

Primeiro, vou anotar o que já sabemos.

We know that point M is the midpoint of AB.

Sabemos que o ponto M é o ponto médio de AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Também sabemos que os lados AC e BC são congruentes.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Vejamos. O que é que o ponto médio nos diz?

Luckily, I know the definition of midpoint.

Por sorte, eu sei a definição de ponto médio.

It is basically the point in the middle.

É, basicamente, o ponto no meio!

What this means is that AM and BM are the same length,

O que significa é que AM e BM têm o mesmo comprimento,

since M is the exact middle of AB.

visto que M está exatamente a meio de AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

Por outras palavras, as bases de cada um dos triângulos são congruentes.

I'll put that as step two.

Vou pôr isso como o passo dois.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Ótimo! Até aqui já tenho dois pares de lados que são congruentes.

The last one is easy.

O último é fácil.

The third side of the left triangle

O terceiro lado do triângulo da esquerda é CM,

is CM, and the third side of the right triangle is -

e o terceiro lado do triângulo da direita é...

well, also CM.

também é CM.

They share the same side.

Partilham o mesmo lado.

Of course it's congruent to itself!

Claro, é congruente consigo mesmo!

This is called the reflexive property.

Chama-se a isto "propriedade reflexiva".

Everything is congruent to itself.

Tudo é congruente consigo mesmo.

I'll put this as step three.

Vou pôr isto como o passo três.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Já está! Acabámos de provar que os três lados do triângulo da esquerda

are congruent to all three sides of the right triangle.

são congruentes com os três lados do triângulo da direita.

Plus, the two triangles are congruent

E mais, os dois triângulos são congruentes

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

com base no teorema da congruência dos triângulos de lados iguais.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Quando acabo uma demonstração, gosto de fazer o que Euclides fazia.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Marcava o fim de uma prova com as letras QED.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

Em latim para "quod erat demonstrandum"

which translates literally to

que se traduz literalmente

"what was to be proven."

por "como se queria demonstrar".

But I just think of it as "look what I just did!"

Mas para mim é sobretudo "vejam o que acabei de fazer!"

I can hear what you're thinking:

Estou a ouvir o que vocês pensam:

why should I study proofs?

"Porque é que tenho que estudar demonstrações?"

One reason is that they could allow you to win any argument.

Uma das razões é que nos permitem ganhar qualquer debate.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Abraham Lincoln, um dos maiores líderes da nação de todos os tempos,

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

tinha sempre à cabeceira um exemplar dos Elementos de Euclides

to keep his mind in shape.

para manter em forma o seu raciocínio.

Another reason is you can make a million dollars.

Outra razão é porque podemos ganhar um milhão de dólares.

You heard me.

Ouviram bem.

One million dollars.

Um milhão de dólares.

É o preço que o Instituto de Matemática Clay, em Massachusetts,

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

está disposto a pagar a quem demonstrar uma das muitas teorias sem demonstração

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

that it calls "the millenium problems."

a que chama "problemas do milénio".

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Algumas delas foram solucionadas nos anos 90 e na década de 2000.

But beyond money and arguments,

Mas, além do dinheiro e dos argumentos,

proofs are everywhere.

as provas estão por todo o lado.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Na arquitetura, na arte, na programação informática e na segurança da Internet.

If no one understood or could generate a proof,

Se ninguém compreendesse ou gerasse uma demonstração.

we could not advance these essential parts of our world.

não podíamos progredir nestas partes essenciais do nosso mundo.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Finalmente, todos sabemos que a prova está no pudim.

And pudding is delicious. QED.

E o pudim é delicioso.

QED