An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Matematiksel bir kuram nasıl ispatlanır - Scott Kennedy

Çeviri: Sevkan Uzel Gözden geçirme: Halil Sarı

İspat nedir?

What is proof?

And why is it so important in mathematics?

Ve neden matematikte bu kadar önemlidir?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

İspat, matematikçiler, mantıkçılar, istatistikçiler, iktisatçılar,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

mimarlar, mühendisler ve başka pek çokları için

and many others to build and test their theories on.

kuramlarını yapılandırıp sınayabilecekleri sağlam bir temel sağlar.

And they're just plain awesome!

Ve de muhteşemdirler!

Let me start at the beginning.

En baştan başlayayım.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Sizi Öklit adında bir arkadaşla tanıştıracağım.

As in, "here's looking at you, Clid."

İşte, "size bakıyor, Klit."

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Yaklaşık 2.300 yıl önce Yunanistan'da yaşamıştır

and he's considered by many to be the father of geometry.

ve çoğu kişi tarafından geometrinin babası olarak tanınır.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Yani eğer geometri hayran mektubunuzu nereye göndereceğinizi merak ederseniz,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

ispatlar için teşekkürleri kabul edecek kişi İskenderiyeli Öklit oluyor.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Öklit aslında matematiğe ilişkin çok şeyin icadı ya da keşfi ile ünlenmemiştir.

but he revolutionized the way in which it is written,

Onun katkısı matematiğin yazım, sunum

presented, and thought about.

ve düşünüş biçimine olmuştur.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Öklit, matematik oyununun kurallarını belirleyerek, onu biçimlendirmiştir.

These rules of the game are called axioms.

Bu oyun kurallarına aksiyomlar denir.

Once you have the rules,

Kurallara bir kere sahip olunca, doğru olduğunu düşündüğünüz şeyi

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

ispatlamak için onları kullanmanız gerekir, der Öklit.

If you can't, then your theorem or idea

Eğer bunu yapamıyorsanız, kuramınız ya da düşünceniz

might be false.

yanlış olabilir.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

Ve eğer kuramınız yanlışsa, ondan çıkan ya da onu kullanan tüm diğerleri de

might be false too.

yanlış olabilir.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Tıpkı yanlış yerleştirilen tek bir sütunun tüm binanın yıkılmasına yol açışı gibi.

So that's all that proofs are:

Yani ispat tam olarak şu:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

İyi tanımlanmış kurallarla bir kuramın doğruluğunu hiç kuşkusuz kanıtlamak.

Then you use those theorems like blocks

Ardından bu kuramları, matematiği yapılandıracak

to build mathematics.

tuğlalar olarak kullanırsınız.

Let's check out an example.

Şimdi bir örneğe bakalım.

Say I want to prove that these two triangles

Diyelim şu iki üçgenin aynı biçim ve büyüklükte

are the same size and shape.

olduğunu kanıtlamak istiyorum; yani benzer üçgen olduklarını.

In other words, they are congruent.

Well, one way to do that is to write a proof

Bunu yapmanın bir yolu, üçgenlerden birinin her bir kenarının

that shows that all three sides of one triangle

diğer üçgenin her bir kenarına benzer olduğunu gösteren

are congruent to all three sides of the other triangle.

bir ispat yapmaktır.

So how do we prove it?

Peki bu ispatı nasıl yaparız?

First, I'll write down what we know.

İlk önce, bildiklerimi yazayım.

We know that point M is the midpoint of AB.

M noktasının AB'nin orta noktası olduğunu biliyoruz.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Ayrıca, AC ve BC kenarlarının zaten benzer olduklarını biliyoruz.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Şimdi bakalım. Orta nokta bize ne diyor?

Luckily, I know the definition of midpoint.

Neyse ki, orta noktanın tanımını biliyorum.

It is basically the point in the middle.

Bu basitçe tam ortadaki nokta.

What this means is that AM and BM are the same length,

M noktası AB'nin tam ortası olduğundan,

since M is the exact middle of AB.

AM ile BM'nin aynı uzunlukta olduğu anlamına gelir bu.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

Bir diğer deyişle, üçgenlerimizin alt kenarları benzerdir.

I'll put that as step two.

Bunu ikinci adım olarak alayım.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Harika! Benzer olan iki çift kenarım oldu bile.

The last one is easy.

Sonuncusu kolay.

The third side of the left triangle

Soldaki üçgenin üçüncü kenarı CM

is CM, and the third side of the right triangle is -

ve sağdaki üçgenin üçüncü kenarı da CM.

well, also CM.

Aynı kenarı paylaşıyorlar.

They share the same side.

Of course it's congruent to itself!

Elbette o da kendi kendine benzerdir.

This is called the reflexive property.

Buna denklik bağıntısı denir.

Everything is congruent to itself.

Her şey kendine benzerdir.

I'll put this as step three.

Bunu da üçüncü adım olarak alayım.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Ta da! İşte soldaki üçgenin tüm kenarlarının

are congruent to all three sides of the right triangle.

sağdakinin tüm kenarlarına benzer olduğunu ispatladınız.

Plus, the two triangles are congruent

Artı, bu iki üçgen, üçgenlerdeki kenar-kenar-kenar benzerlik teoremi

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

dolayısıyla benzerdir.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Bir ispat yaptığımda, Öklit'in yaptığını yapmayı severim.

He marked the end of a proof with the letters QED.

İspatın sonuna QED yazarmış.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

Latince "quod erat demonstrandum"un baş harfleri ve anlamı da

which translates literally to

"kanıtlanacak olan şey."

"what was to be proven."

But I just think of it as "look what I just did!"

Ama ben onu "bak ne buldum!" olarak algılıyorum.

I can hear what you're thinking:

Ne düşündüğünüzü hissedebiliyorum: Neden ispatlarla uğraşayım ki?

why should I study proofs?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Nedenlerden biri, herhangi bir tartışmayı kazanmanızı sağlayabilmesi.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Ulusumuzun ulu önderlerinden Abraham Lincoln,

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

Öklit'in Elementler kitabını, başucu kitabı yapmıştı;

to keep his mind in shape.

zihnini formda tutabilmek için.

Another reason is you can make a million dollars.

Bir diğer neden, bir milyon dolar kazanabilecek olmanız.

You heard me.

Beni duydunuz. Bir milyon dolar.

One million dollars.

Massachusetts'deki Clay Matematik Enstitüsü'nün, "milenyum problemleri"

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

denilen ispatlanmamış pek çok kuramdan

that it calls "the millenium problems."

birini ispatlayabilene vaad ettiği miktar bu.

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Bunlardan bir kaç tanesi 90'larda ve 2000'lerde çözüldü.

But beyond money and arguments,

Ancak para ve tartışmaların ötesinde, ispatlar her yerde.

proofs are everywhere.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Mimarinin, sanatın, bilgisayar programlarının ve

internet güvenliğinin arkasında.

If no one understood or could generate a proof,

Eğer hiç kimse ispatı anlamaz ya da üretemezse,

we could not advance these essential parts of our world.

dünyamızın bu vazgeçilmez öğelerinde ilerleme sağlayamayız.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Son olarak, biliyoruz ki ispat pudingte.

And pudding is delicious. QED.

Ve puding pek leziz. QED.