An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Come dimostrare una teoria matematica - Scott Kennedy

Traduttore: Alessandra Tadiotto Revisore: Elena Montrasio

What is proof?

Che cos'è una dimostrazione?

And why is it so important in mathematics?

E perché è così importante in matematica?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Le dimostrazioni forniscono solide fondamenta per matematici,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

logici, statistici, economisti, architetti, ingegneri,

and many others to build and test their theories on.

e molti altri per costruire e verificare le loro teorie.

And they're just plain awesome!

E sono semplicemente incredibili!

Let me start at the beginning.

Fatemi cominciare dall'inizio.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Vi presenterò un tipo chiamato Euclide.

As in, "here's looking at you, Clid."

Come: "ti stanno guardando, Clid".

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Visse in Grecia circa 2300 anni fa,

and he's considered by many to be the father of geometry.

ed è considerato da molti il padre della geometria.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Perciò se ti stavi domandando a chi inviare la tua mail quale ammiratore della geometria

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

Euclide di Alessandria è il tipo da ringraziare per le dimostrazioni.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Euclide non è conosciuto per aver inventato o scoperto molto in matematica,

but he revolutionized the way in which it is written,

ma ha rivoluzionato il modo in cui viene scritta,

presented, and thought about.

presentata e pensata.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Euclide ha cominciato a formalizzare la matematica stabilendo le regole del gioco.

These rules of the game are called axioms.

Queste regole del gioco sono chiamate assiomi.

Once you have the rules,

Una volta stabilite le regole,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

Euclide dice che devi usarle per dimostrare quello che tu credi sia vero.

If you can't, then your theorem or idea

Se non ci riesci, allora il tuo teorema o la tua idea

might be false.

potrebbero essere falsi.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

E se il tuo teorema è falso, allora qualsiasi teorema che ne deriva e che ne fa uso

might be false too.

potrebbe essere falso.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Come quando una trave mal collocata può far crollare l'intera casa.

So that's all that proofs are:

Ecco quindi che cosa sono le dimostrazioni:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

si usano regole ben stabilite per dimostrare al di là di ogni ombra di dubbio che un qualche teorema è vero.

Then you use those theorems like blocks

Quindi usiamo quei teoremi come blocchi

to build mathematics.

per costruire la matematica.

Let's check out an example.

Facciamo un esempio.

Say I want to prove that these two triangles

Ammettiamo che io voglia dmostrare che questi due triangoli

are the same size and shape.

hanno la stessa forma e la stessa dimensione.

In other words, they are congruent.

In altre parole, che sono congruenti.

Well, one way to do that is to write a proof

Bene, un modo per farlo è scrivere una dimostrazione

that shows that all three sides of one triangle

che provi che tutti e tre i lati di un triangolo

are congruent to all three sides of the other triangle.

sono congruenti con tutti e tre i lati dell'altro triangolo.

So how do we prove it?

Quindi, come lo dimostriamo?

First, I'll write down what we know.

Per prima cosa, scriverò ciò che conosco.

We know that point M is the midpoint of AB.

Sappiamo che il punto M è il punto medio di AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Sappiamo anche che i lati AC e BC sono già congruenti.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Ora, guardate. Che cosa ci dice il punto medio?

Luckily, I know the definition of midpoint.

Fortunatamente, conosco la definizione di punto medio.

It is basically the point in the middle.

E' in pratica in punto che sta nel mezzo.

What this means is that AM and BM are the same length,

Ciò significa che AM e BM sono della stessa lunghezza

since M is the exact middle of AB.

dato che M è esattamente a metà di AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

In altre parole, il lato inferiore di ciascuno dei nostri triangoli è congruente.

I'll put that as step two.

Considererò questo come il punto due della dimostrazione.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Grandioso! Finora ho due coppie di lati che sono congruenti.

The last one is easy.

L'ultimo è facile.

The third side of the left triangle

Il terzo lato del triangolo a sinistra

is CM, and the third side of the right triangle is -

è CM, e il terzo lato del triangolo a destra

well, also CM.

è anch'esso CM.

They share the same side.

Condividono lo stesso lato.

Of course it's congruent to itself!

Ovvio che sia congruente a se stesso!

This is called the reflexive property.

Questa è chiamata la proprietà riflessiva.

Everything is congruent to itself.

Ogni cosa è congruente a se stessa.

I'll put this as step three.

Lo considero come il punto tre.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Ta dah! Avete appena dimostrato che tutti i lati del triangolo di sinistra

are congruent to all three sides of the right triangle.

sono congruenti ai tre lati di quello di destra.

Plus, the two triangles are congruent

Inoltre, i due triangoli sono congruenti

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

come conseguenza del teorema sulla congruenza lato-per-lato dei triangoli.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Quando termino una dimostrazione, mi piace fare come Euclide.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Segno la fine della dimostrazione con le lettere QED.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

E' latino, "quod erat demostrandum",

which translates literally to

che tradotto letteralmente significa

"what was to be proven."

"come volevasi dimostrare".

But I just think of it as "look what I just did!"

Ma io lo interpreto come "guarda cosa ho appena fatto!".

I can hear what you're thinking:

Riesco a immaginare cosa state pensando:

why should I study proofs?

perché dovrei studiare le dimostrazioni?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Un motivo è perché possono permettervi di vincere un dibattito.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Abraham Lincoln, uno dei leader più grandi del nostro paese di tutti i tempi

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

era solito tenere una copia degli Elementi di Euclide sul suo comodino

to keep his mind in shape.

per mantenere la mente in forma.

Another reason is you can make a million dollars.

Un altro motivo è perché potete vincere un milione di dollari.

You heard me.

Mi avete sentito.

One million dollars.

Un milione di dollari.

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

E' il premio che il Clay Mathematics Institute di Massachussets

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

offre a chiunque riesca a dimostrare una delle molte teorie prive di dimostrazione

that it calls "the millenium problems."

che vengono definitite "i problemi del millennio".

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Un paio di queste teorie sono state risolte negli anni '90 del secolo scorso e nei primi anni del nostro secolo.

But beyond money and arguments,

Ma oltre al denaro e ai ragionamenti

proofs are everywhere.

le dimostrazioni sono ovunque.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Sottendono l'architettura, l'arte, la programmazione informatica, la sicurezza di internet.

If no one understood or could generate a proof,

Se nessuno comprendesse o fosse in grado di generare una dimostrazione

we could not advance these essential parts of our world.

non potremmo progredire in queste parti essenziali del nostro mondo.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Infine, sappiamo tutti che la dimostrazione è nel pudding.

And pudding is delicious. QED.