An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Как доказать теорему? — Скотт Кеннеди

Переводчик: Alexandra Rumyantseva Редактор: Péter Pallós

What is proof?

Что есть доказательство?

And why is it so important in mathematics?

И почему оно так важно в математике?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Доказательство служит прочной основой для математиков, логиков,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

статистиков, экономистов, архитекторов и инженеров,

and many others to build and test their theories on.

а также других специалистов для обоснования и проверки теорий.

And they're just plain awesome!

Да таких классных теорий!

Let me start at the beginning.

Начну сначала.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Я представлю вам парня по имени Евклид.

As in, "here's looking at you, Clid."

Это как: «Эй вы, Клит».

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Он жил в Древней Греции 2 300 лет назад,

and he's considered by many to be the father of geometry.

и он считается отцом геометрии.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Если вы сомниваетесь, кому отправить своё письмо фаната геометрии,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

шлите его смело Евклиду из Александрии.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Он не то чтобы изобрёл математику или привнёс в неё нечто новое,

but he revolutionized the way in which it is written,

но коренным образом изменил представление о ней,

presented, and thought about.

её описание и отношение к ней.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Евклид формализовал математику, установив правила игры.

These rules of the game are called axioms.

Правила игры зовутся аксиомами.

Once you have the rules,

А раз существуют правила, по Евклиду,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

их нужно применять для доказательства утверждения.

If you can't, then your theorem or idea

Без них ваша теорема или предположение

might be false.

могут оказаться ложными.

Если теорема ложная, то и все последующие теоремы

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

также могут оказаться ложными.

might be false too.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Как, например, из-за одной кривой балки может рухнуть весь дом.

So that's all that proofs are:

В этом вся суть доказательства:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

применить твёрдо установленные правила для доказательства теоремы.

Then you use those theorems like blocks

Теоремы образуют «блоки»,

to build mathematics.

которые и составляют математику.

Let's check out an example.

Рассмотрим на примере.

Say I want to prove that these two triangles

Я хочу доказать, что два треугольника

are the same size and shape.

имеют одинаковый размер и форму.

In other words, they are congruent.

Иными словами, конгруэнтны.

Well, one way to do that is to write a proof

Один способ это сделать — вывести доказательство,

that shows that all three sides of one triangle

по которому все стóроны одного треугольника

are congruent to all three sides of the other triangle.

равны всем сторонам другого треугольника.

So how do we prove it?

Как же нам это доказать?

First, I'll write down what we know.

Во-первых, запишем, чтó нам известно.

We know that point M is the midpoint of AB.

Известно, что точка М — средняя точка отрезка АВ.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Также известно, что стóроны АС и ВС равны.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Так. О чём нам говорит точка М?

Luckily, I know the definition of midpoint.

К счастью, я знаю определение середины отрезка.

It is basically the point in the middle.

Буквально, это точка посередине.

What this means is that AM and BM are the same length,

А это значит, что отрезки АМ и ВМ имеют равную длину,

since M is the exact middle of AB.

поскольку точка М находится ровно в центре отрезка АВ.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

Иными словами, основания обоих треугольников равны.

I'll put that as step two.

Это этап номер два.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Здóрово! Пока что у нас есть две пары сторон, которые равны.

The last one is easy.

Заключительный этап прост.

The third side of the left triangle

Отрезок СМ — третья сторона левого треугольника,

is CM, and the third side of the right triangle is -

а третья сторона правого треугольника —

well, also CM.

это тоже отрезок СМ.

They share the same side.

Это их общая сторона.

Of course it's congruent to itself!

Разумеется, она сама себе равна!

This is called the reflexive property.

Это называется рефлексивным отношением.

Всё конгруэнтно самому́ себе.

Everything is congruent to itself.

I'll put this as step three.

Это был третий этап.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Та-да! Вы доказали, что три стороны левого треугольника

are congruent to all three sides of the right triangle.

равны трём сторонам треугольника правого.

Plus, the two triangles are congruent

Треугольники ещё равны и потому,

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

что это следует из теоремы равенства треугольников по трём сторонам.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

С доказательством закончено, хочу теперь сделать как Евклид.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Он обозначал завершение доказательства буквами «QED».

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

«QED» по-латински — «quod erat demonstrandum»,

which translates literally to

что дословно переводится как

"what was to be proven."

«что и требовалось доказать».

But I just think of it as "look what I just did!"

Но для меня это «смотри, у меня получилось!»

I can hear what you're thinking:

Я уже слышу, как вы спрашиваете:

why should I study proofs?

«Зачем мне изучать доказательства?»

One reason is that they could allow you to win any argument.

Хотя бы потому, что вы сможете выиграть любой спор.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Авраам Линкольн, выдающийся исторический деятель Америки,

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

держал на тумбочке у кровати экземпляр «Начал» Евклида

to keep his mind in shape.

для поддержания остроты ума.

Another reason is you can make a million dollars.

Вы также можете выиграть миллион долларов.

You heard me.

Да, вы не ослышались.

Один миллион долларов!

One million dollars.

Именно столько Математический институт им. Клэя штата Массачусетс

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

готов заплатить за доказательство одной из многих пока недоказанных теорем —

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

that it calls "the millenium problems."

так называемых «задач тысячелетия».

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Некоторые из этих задач были решены в 90-е и 2000-е гг.

But beyond money and arguments,

Независимо от денег и споров,

proofs are everywhere.

доказательства повсюду.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

На них основана архитектура, искусство, программирование и интернет-безопасность.

If no one understood or could generate a proof,

Если никто бы этого не понимал и не мог бы доказать,

we could not advance these essential parts of our world.

в этих важных областях не было бы и прогресса.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

И все мы знаем: не попробовав пудинга, не докажешь, что он вкусный.

And pudding is delicious. QED.

Мы попробовали — и убедились. ЧТД.