An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Translator: Leila Rahimi Reviewer: Masoud Motamedifar

What is proof?

اثبات چیست؟

And why is it so important in mathematics?

و چرا در ریاضیات این قدر مهم است؟

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

اثبات‌ها پایه‌ای محکم برای ریاضیدانان فراهم می‌کند

منطق دانان، آماردانان، اقتصاددانان، معماران، مهندسان

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

and many others to build and test their theories on.

و بسیاری دیگر برای ساختن و آزمایش تئوری ‌های خود.

And they're just plain awesome!

و آنها فقط عالی هستند!

Let me start at the beginning.

بگذارید از اول شروع کنم.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

شما را با شخصی به نام اقلیدس آشنا می‌کنم.

As in, "here's looking at you, Clid."

همانطور که در “اینجا به شما نگاه می‌کنم، کلاید.”

He lived in Greece about 2,300 years ago,

‌او حدود ۲۳۰۰ سال پیش در یونان زندگی می‌کرد،

and he's considered by many to be the father of geometry.

و بسیاری او را پدر هندسه می‌دانند.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

پس اگر فکر کرده‌اید ایمیل فن هندسی خود را به کجا ارسال کنید،

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

اقلیدس از اسکندریه مردی است که باید برای اثبات‌ها از او تشکر کرد.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

اقلیدس واقعا برای اختراع یا کشف ریاضیات خیلی شناخته شده نیست

but he revolutionized the way in which it is written,

اما او شیوه‌ی نگارش، ارائه و تفکر را متحول کرد.

presented, and thought about.

اقلیدس تصمیم گرفت ریاضیات را با رسم قوانین بازی رسمی کند.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

These rules of the game are called axioms.

به این قوانین بازی اصل می‌گویند.

Once you have the rules,

وقتی قوانین را دارید، اقلیدس می‌گوید باید از آن‌ها استفاده کنید

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

تا چیزی که فکر می‌کنید درست است را ثابت کنید

If you can't, then your theorem or idea

اگر نمی‌توانی، پس قضیه یا ایده‌ی شما

ممکن است غلط باشد.

might be false.

و اگر قضیه‌ی شما غلط است، سپس هر قضیه‌ای که بعد از ان امده و از ان استفاده می‌کند

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

might be false too.

نیز می‌تواند غلط باشد.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

برای مثال چگونه یک تیر نا به جا می‌تواند کل خانه را خراب کند

So that's all that proofs are:

پس همه‌ی آن‌ها اثبات هستند:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

استفاده از قوانین تثبیت شده برای اثبات، بدون شک برخی از قضایا درست هستند.

Then you use those theorems like blocks

سپس شما از ان قضایا مثل بلوک‌ها برای ساخت ریاضیات استفاده می‌کنید.

to build mathematics.

Let's check out an example.

بیایید یک مثال رو بررسی کنیم.

Say I want to prove that these two triangles

می‌خواهم ثابت کنم که این دو مثلث

are the same size and shape.

هم اندازه و هم شکل هستند.

In other words, they are congruent.

به عبارتی دیگر، ان‌ها متجانس هستند.

Well, one way to do that is to write a proof

خب، یکی از راه‌های انجام این کار نوشتن اثباتی است

that shows that all three sides of one triangle

که نشان دهد هر سه ضلع یک مثلث

با هر سه ضلع مثلث دیگر متجانس است.

are congruent to all three sides of the other triangle.

So how do we prove it?

خب چجوری این را ثابت می‌کنیم؟

First, I'll write down what we know.

اول از همه، چیزی که می‌دانیم را می‌نویسم.

We know that point M is the midpoint of AB.

می‌دانیم که نقطه ی M وسط AB است.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

و همچنین می‌دانیم که ضلع AC با ضلع BC متجانس است

Now let's see. What does the midpoint tell us?

حالا بیایید ببینیم، نقطه‌ی میانی چه چیزی به ما می‌گوید؟

Luckily, I know the definition of midpoint.

خوشبختانه، تعریف نقطه‌ی میانی را می‌دانم.

It is basically the point in the middle.

بطور ساده نقطه‌ای در وسط است.

What this means is that AM and BM are the same length,

معنی که می‌دهد این است که AM و BM هم اندازه هستند،

since M is the exact middle of AB.

از آنجایی که M دقیقا وسط AB است.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

به عبارتی دیگر، ضلع پایین هر یک از مثلث‌های ما متجانس هستند

I'll put that as step two.

ان را بعنوان قدم دوم درنظر می‌گیرم.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

عالیه! تا الان دو جفت ضلع دارم که با هم متجانس هستند

The last one is easy.

آخری آسان است.

The third side of the left triangle

سومین ضلع باقیمانده از مثلث CM است،

is CM, and the third side of the right triangle is -

و سومین ضلع مثلث سمت راستی هم CM است.

well, also CM.

They share the same side.

ان‌ها یک ضلع را به اشتراک گذاشته اند.

Of course it's congruent to itself!

البته که این با خودش متجانس است!

This is called the reflexive property.

این خاصیت بازتابی نامیده می‌شود

Everything is congruent to itself.

همه چیز با خودش متجانس است.

I'll put this as step three.

این را بعنوان قدم سوم در نظر می‌گیرم.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

تاها! همین الان ثابت کردید که هر سه ضلع مثلث سمت چپی

are congruent to all three sides of the right triangle.

با هر سه ضلع مثلث سمت راستی متجانس است.

Plus, the two triangles are congruent

علاوه بر این، دو مثلث با هم متجانس است.

به دلیل قضیه ی سه ضلع متجانس برای مثلث ها.

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

وقتی با اثبات تمام شد، دوست دارم کاری را انجام دهم که اقلیدس انجام داد.

He marked the end of a proof with the letters QED.

او پایان یک قضیه را با حروف‌های QED مشخص کرد.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

در لاتین «quod erat demostrandum» است.

which translates literally to

که به معنای واقعی کلمه ترجمه می‌شود

"what was to be proven."

«آنچه قرار بود اثبات شود»

But I just think of it as "look what I just did!"

اما من این را بعنوان «ببین چه کار کردم!» در نظر می‌گیرم.

I can hear what you're thinking:

می‌توانم بشنوم که داری به چی فکر می‌کنی:

why should I study proofs?

چرا باید اثبات‌ها را یاد بگیرم؟

One reason is that they could allow you to win any argument.

یکی از دلایل این است که می‌توانند بهت اجازه دهند تا در هر بحثی برنده شوید

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

آبراهام لینکلن، یکی از بزرگترین رهبر کشور ما در تمام دوران

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

عادت داشت تا یک کپی از عناصر اقلیدس بر روی میز کنار تختش نگهداری کند

to keep his mind in shape.

تا ذهن خود را متناسب نگه دارد.

Another reason is you can make a million dollars.

دلیل دیگر این است که شما می‌توانید یک میلیون دلار بدست آورید.

You heard me.

درست شنیدید.

One million dollars.

یک میلیون دلار.

این قیمتی است که موسسه‌ی ریاضیات خاک رس در ماساچوست

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

حاضر است به هر کسی که یکی از چندین نظریه‌های اثبات نشده را ثابت کند، بپردازد.

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

that it calls "the millenium problems."

که به آن «مشکلات هزار سال» می‌گویند.

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

بعضی از آن‌ها در دهه‌های ۹۰ و ۲۰۰۰ حل شده اند

But beyond money and arguments,

اما فراتر از پول و بحث،

proofs are everywhere.

اثبات‌ها همه جا هستند.

آن‌ها زیربنای معماری، هنر، برنامه نویسی، و امنیت اینترنت هستند.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

If no one understood or could generate a proof,

اگر هیچ کس نمی‌فهمیدم یا نمی‌توانست اثبات را ایجاد کند،

we could not advance these essential parts of our world.

نمی‌توانستیم این بخش‌های مهم از دنیای‌مان را پیشرفته کنیم

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

در نهایت، همه ی ما می‌دانیم که اثبات در پودینگ است.

And pudding is delicious. QED.

و پودینگ خوشمزه است، QED.