An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Cómo demostrar una teoría matemática - Scott Kennedy

Traductor: Alvaro Ledesma Revisor: Lidia Cámara de la Fuente

What is proof?

¿Qué es una demostración?

And why is it so important in mathematics?

¿y por qué es tan importante para las matemáticas?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Las demostraciones dan a los matemáticos

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

lógicos, estadísticos, economistas, arquitectos, ingenieros,

and many others to build and test their theories on.

y a muchos más bases sólidas para construir sus teorías.

And they're just plain awesome!

¡Y son simplemente impresionantes!

Let me start at the beginning.

Empezemos por el principio.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Les presento a Euclides. Su nombre significa

As in, "here's looking at you, Clid."

"el de buena fama" ¡y vaya que la tiene!

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Vivió en Grecia hace aproximadamente 2300 años,

and he's considered by many to be the father of geometry.

y muchos lo consideran el padre de la geometría.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Si los fanáticos de la geometría se preguntaban a quien admirar,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

es Euclides de Alexandría el genio de las demostraciones.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

A Euclides no se le conoce realmente por inventar o descubrir matemáticas

but he revolutionized the way in which it is written,

sino por revolucionar la manera en la que se escriben,

presented, and thought about.

se presentan y se consideran.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Euclides se propuso formalizar las matemáticas estableciendo las reglas del juego.

These rules of the game are called axioms.

Las reglas del juego se llaman axiomas.

Once you have the rules,

Una vez que uno conoce las reglas,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

Euclides dice que se deben usar para demostrar que lo que piensas es cierto.

If you can't, then your theorem or idea

Y si no se puede, entonces el teorema o idea

might be false.

podría ser falso.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

Y si el teorema es falso entonces cualquier teorema asociado

might be false too.

también podría ser falso.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Así como una columna mal ubicada podría derribar completamente una casa.

So that's all that proofs are:

Así que las demostraciones son eso:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

usar reglas bien establecidas para probar más allá de toda duda que un teorema es cierto.

Then you use those theorems like blocks

Luego se pueden usar esos teoremas como bloques

to build mathematics.

para construir más matemáticas.

Let's check out an example.

Veamos un ejemplo.

Say I want to prove that these two triangles

Digamos que quiero probar que dos triangulos

are the same size and shape.

tiene el mismo tamaño y forma.

In other words, they are congruent.

En otras palabras, son congruentes.

Well, one way to do that is to write a proof

Bueno, una manera de hacerlo es haciendo una demostración

that shows that all three sides of one triangle

que muestre que los tres lados de un triángulo

are congruent to all three sides of the other triangle.

son congruentes con los tres lados del otro triángulo

So how do we prove it?

Así que ¿cómo lo demostramos?

First, I'll write down what we know.

Primero, escibimos lo que sabemos.

We know that point M is the midpoint of AB.

Sabemos que el punto M es el punto medio de AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

También sabemos que los lados AC y BC son congruentes.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Ahora veamos. ¿Qué sabemos del punto medio?

Luckily, I know the definition of midpoint.

Afortunadamente, yo sé la definición de punto medio.

It is basically the point in the middle.

Significa el punto en la mitad de algo.

What this means is that AM and BM are the same length,

Así, AM y BM tienen la misma longitud,

since M is the exact middle of AB.

porque M está en el medio de AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

En otras palabras, las bases de los triángulos son congruentes.

I'll put that as step two.

Lo anotaré como el paso dos.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

¡Bien! Hasta ahora tenemos dos pares de lados congruentes.

The last one is easy.

El último es fácil.

The third side of the left triangle

El tercer lado del triángulo de la izquierda

is CM, and the third side of the right triangle is -

es CM, y el tercer lado del triángulo de la derecha es...

well, also CM.

bueno, también CM.

They share the same side.

Ambos triángulos comparten un lado.

Of course it's congruent to itself!

¡Obviamente es congruente consigo mismo!

This is called the reflexive property.

Es la propiedad reflexiva.

Everything is congruent to itself.

Todo es congruente consigo mismo.

I'll put this as step three.

Lo anotaré como paso tres.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

¡Listo! Hemos probado que los tres lados del triángulo de la izquierda

are congruent to all three sides of the right triangle.

son congruentes con los tres lados del de la derecha.

Plus, the two triangles are congruent

Por lo tanto, los dos triángulos son congruentes

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

en base al teorema de congruencia lado-lado-lado para triángulos.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

l Aterminar una demostración, me gusta hacer lo que Euclides hacía.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Escribía el final de la demostración QED

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

del latín "quod erat demonstrandum,"

which translates literally to

que literalmente significa

"what was to be proven."

"lo que se quería demostrar."

But I just think of it as "look what I just did!"

Pero para mí es: "¡mira qué hice!"

I can hear what you're thinking:

Puedo oír lo que piensas:

why should I study proofs?

¿para qué estudiar demostraciones?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Una razón es que nos pueden ayudar a ganar cualquier debate.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Abraham Lincoln, uno de los líderes estadounidenses más grandes de todos los tiempos

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

solía tener una copia de "Elementos" de Euclides en su mesita

to keep his mind in shape.

para mantener su mente en forma.

Another reason is you can make a million dollars.

Otra razón es que podemos ganar un millón de dólares.

You heard me.

Escuchaste bien.

One million dollars.

Un millón de dólares.

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

Ese es el premio que el Instituto Clay de Matemáticas en Massachusetts

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

paga a cualquiera que demuestre una de las varias teorías no demostradas

that it calls "the millenium problems."

a las que llama "los problemas del milenio."

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Un par de ellos han sido resueltos en los 90 y en los 2000.

But beyond money and arguments,

Pero más allá del dinero y los debates,

proofs are everywhere.

hay demostraciones por todos lados.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Son la base de la arquitectura, el arte, la programación y la seguridad en Internet.

If no one understood or could generate a proof,

Si nadie pudiera entender o hacer una demostración,

we could not advance these essential parts of our world.

no podríamos progresar en estas partes esenciales de nuestro mundo.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Hablando de demostrar o probar teoremas:

And pudding is delicious. QED.

La prueba está en el resultado. QED.