An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Cum să demonstrăm o teoremă matematică - Scott Kennedy

Traducător: Sebastiana Spataru Corector: Ariana Bleau Lugo

What is proof?

Ce-i o demonstrație?

And why is it so important in mathematics?

De ce-i așa de importantă în matematică?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Demonstrațiile oferă o bază solidă pentru matematicieni,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

logicieni, statiscieni, economiști, arhitecți

and many others to build and test their theories on.

și pentru mulți alții, în construirea și verificarea teoriilor.

And they're just plain awesome!

Demonstrațiile sunt pur și simplu impresionante!

Let me start at the beginning.

Să începem cu începutul.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Vi-l prezint pe Euclid,

As in, "here's looking at you, Clid."

ca-n „uite că se uită la tine, Clid.”

He lived in Greece about 2,300 years ago,

A trăit în Grecia acum aproximativ 2.300 de ani

and he's considered by many to be the father of geometry.

și este considerat tatăl geometriei.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Dacă sunteți fani ai demonstrațiilor geometrice,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

trimiteți-i mail lui Euclid din Alexandria.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Euclid nu-i cunoscut pentru inventarea sau descoperirea matematicii

but he revolutionized the way in which it is written,

ci pentru revoluționarea felului în care se scrie,

presented, and thought about.

se demonstrează și se interpretează.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Euclid și-a propus să oficializeze matematica prin stabilirea regulilor jocului.

These rules of the game are called axioms.

Aceste reguli sunt denumite axiome.

Once you have the rules,

Odată ce știm regulile,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

trebuie să le folosim pentru a demonstra ce credem că-i adevarat.

If you can't, then your theorem or idea

Dacă nu putem, atunci teorema sau idea

might be false.

poate fi falsă.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

Dacă teorema e falsă, atunci orice teoremă dedusă din aceasta

might be false too.

poate fi falsă,

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

ca o grindă care dărâmă casa dacă-i pusă greșit.

So that's all that proofs are:

Astea-s demonstrațiile -

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

folosirea de reguli prestabilite pentru a demonstra că teorema e adevarată.

Then you use those theorems like blocks

Apoi folosim teoremele ca pe niște piese

to build mathematics.

cu care construim baza matematicii.

Let's check out an example.

Să luăm un exemplu:

Say I want to prove that these two triangles

vreau să demonstrez că aceste două triunghiuri

are the same size and shape.

au aceeași mărime și formă.

In other words, they are congruent.

Cu alte cuvinte, sunt congruente.

Well, one way to do that is to write a proof

Prima metodă e să scriem o demonstrație

that shows that all three sides of one triangle

prin care arătăm că cele trei laturi ale unui triunghi

are congruent to all three sides of the other triangle.

sunt congruente cu cele trei laturi ale celui de-al doilea triunghi.

So how do we prove it?

Cum putem demonstra?

First, I'll write down what we know.

Mai întâi, scriem ce știm:

We know that point M is the midpoint of AB.

punctul M se află la mijlocul laturei AB;

We also know that sides AC and BC are already congruent.

laturile AC și BC sunt congruente.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Acum să vedem ce știm despre punctul din mijloc?

Luckily, I know the definition of midpoint.

Din fericire știu definiția -

It is basically the point in the middle.

se află la mijloc.

What this means is that AM and BM are the same length,

Asta înseamnă că laturile AM și BM au aceeași lungime

since M is the exact middle of AB.

dacă punctul M se află la mijlocul laturei AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

Cu alte cuvinte, baza fiecărui triunghi este congruentă.

I'll put that as step two.

Acesta e pasul doi.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Super! Până acum am două perechi de laturi congruente.

The last one is easy.

Ultima parte e cea mai ușoară.

The third side of the left triangle

A treia latură din triunghiul din stânga

is CM, and the third side of the right triangle is -

e CM și a treia latură din triunghiul din dreapta

well, also CM.

e tot CM.

They share the same side.

Triunghiurile au aceeași latură comună.

Of course it's congruent to itself!

Acestea sunt respectiv congruente.

This is called the reflexive property.

Denumim această relație ca fiind reflexivă.

Everything is congruent to itself.

Toate sunt respectiv congruente.

I'll put this as step three.

Acesta e pasul trei.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Ta dah! Tocmai am demonstrat că cele trei laturi ale triunghiului din stânga

are congruent to all three sides of the right triangle.

sunt congruente celor trei laturi ale triunghiului din dreapta.

Plus, the two triangles are congruent

În plus, cele două triunghiuri sunt congruente

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

în baza teoremei de congruență latură-latură-latură.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

După ce termin o demonstrație, obișnuiesc să fac ce făcea Euclid.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Nota la sfârșitul demonstrației acronimul QED

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

care semnifică în latină „quod erat demonstrandum”,

which translates literally to

care se traduce literal prin

"what was to be proven."

„ceea ce trebuia demonstrat.”

But I just think of it as "look what I just did!"

Mie-mi place să folosesc „uite ce-am făcut!”

I can hear what you're thinking:

Știu că vă întrebați

why should I study proofs?

de ce ar trebui să studiați demonstrațiile?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Unul din motive e că puteți câștiga orice argument.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Abraham Lincoln, unul dintre cei mai vestiți conducători,

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

ținea o copie a cărții lui Euclid, „Elementele”, pe noptieră

to keep his mind in shape.

ca să-și antreneze memoria.

Another reason is you can make a million dollars.

Alt motiv e că puteți câștiga un milion de dolari.

You heard me.

Ați auzit bine.

One million dollars.

Un milion de dolari.

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

Atât oferă Institutul de matematică Clay, din Massachusetts

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

oricărei persoane care demonstrează una din teoriile nedemonstrate,

that it calls "the millenium problems."

denumite „Problemele mileniului”.

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Câteva au fost rezolvate în anii 1990 și 2000.

But beyond money and arguments,

Dar pe lângă bani și argumente,

proofs are everywhere.

demonstrațiile se găsesc pretutindeni.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Stau la baza arhitecturii, artei, programării și securității internetului.

If no one understood or could generate a proof,

Dacă nimeni n-ar fi înțeles sau n-ar fi creat o demonstrație,

we could not advance these essential parts of our world.

lumea n-ar fi putut avansa în părțile esențiale.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Știm că demonstrațiile constau în rezultate

And pudding is delicious. QED.