An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

数学定理の証明方法―スコット・ケネディー

翻訳: Hiroshi Uchiyama 校正: Tomoyuki Suzuki

What is proof?

証明とは何でしょうか？

And why is it so important in mathematics?

またこれが数学で重要とされるのは なぜでしょうか？

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

証明は 数学者や

論理学者、統計学者、経済学者、建築家 技術者、その他多くの人々が

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

and many others to build and test their theories on.

理論を構築し、立証する上で 確固たる基礎を提供します

And they're just plain awesome!

本当にすごい事なんです！

Let me start at the beginning.

では証明の起源から始めましょう

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

ユークリッドという名の人を 紹介します

As in, "here's looking at you, Clid."

「ユークリッド 君の知性に乾杯」

He lived in Greece about 2,300 years ago,

彼は約2,300年前の ギリシャに住んでいました

and he's considered by many to be the father of geometry.

多くの人は彼のことを 幾何学の父と考えていました

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

もし幾何学を称えるファンレターを どこに送れば良いか悩んでいるなら

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

数々のことを証明したアレキサンドリアの ユークリッドに感謝すべきです

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

彼は有名ですが 実は数多くの数学的な 発明や発見をしたのではありません

but he revolutionized the way in which it is written,

しかし 数学における 記述、表記、思考の方法に

presented, and thought about.

革命をもたらしたのです

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

ユークリッドは一連の基本ルールを 確立することで数学を定式化しました

These rules of the game are called axioms.

この基本ルールを「公理」と呼びます

Once you have the rules,

いったん 公理が定まったら

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

正しいと思う事の証明は公理に基づくべきだと ユークリッドは言います

If you can't, then your theorem or idea

公理から説明できなければ あなたの定理やアイデアは

間違いでしょう

might be false.

そしてもし定理が間違っていたら その定理から導かれる他の定理も

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

might be false too.

間違いでしょう

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

誤った場所に梁を渡すと 家屋が崩壊するのと同じです

So that's all that proofs are:

全ての証明があるべき姿とは―

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

定理が疑いなきものと証明するために 十分に確立された公理や定理を用いることです

Then you use those theorems like blocks

そして これらの定理を ブロックのように積み上げ

to build mathematics.

数学を確立していきます

Let's check out an example.

例を見てみましょう

二等辺三角形を等分する２つの三角形が 同じ形で同じ大きさであることを

Say I want to prove that these two triangles

are the same size and shape.

証明したいとします

In other words, they are congruent.

言い換えると合同であるということです

Well, one way to do that is to write a proof

１つの方法は 一方の三角形の３つの辺の長さが

that shows that all three sides of one triangle

他方の三角形の３つの辺の長さに

are congruent to all three sides of the other triangle.

それぞれ等しいことを示すことです

So how do we prove it?

ではどう証明するのでしょうか？

First, I'll write down what we know.

はじめに知っている事を書き出してみます

We know that point M is the midpoint of AB.

点Mは辺ABの中点であることが 分かっています

We also know that sides AC and BC are already congruent.

また辺ACと辺BCは 等しいと分かっています

Now let's see. What does the midpoint tell us?

では中点は何を表しているでしょうか

Luckily, I know the definition of midpoint.

幸運なことに 中点の定義を知っています

It is basically the point in the middle.

中点は線分の両端から 等しい距離にある点です

What this means is that AM and BM are the same length,

つまり 点Mは正確に ABの真ん中にあるので

since M is the exact middle of AB.

AMとBMの長さは等しくなります

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

言い換えると ２つの三角形の 底辺の長さが等しい と言えます

I'll put that as step two.

これを ステップ２に書きましょう

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

見事！　２組の辺の長さが 等しいと分かりました

The last one is easy.

最後の１辺はたやすいものです

The third side of the left triangle

左の三角形の３つ目の辺は

is CM, and the third side of the right triangle is -

辺CMであり 右の三角形の３つ目の辺も

well, also CM.

やはり辺CMです

They share the same side.

辺が共通です

Of course it's congruent to itself!

それ自身の長さはもちろん等しいですね！

This is called the reflexive property.

これは反射律と呼ばれます

全ての図形はそれ自身と合同です

Everything is congruent to itself.

I'll put this as step three.

これを ステップ３に書きます

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

ジャジャーン！ これで左側の三角形の３辺の長さが

are congruent to all three sides of the right triangle.

右側の三角形の３辺の長さと 等しいこと そして

２つの三角形が合同であることが 証明されました

Plus, the two triangles are congruent

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

なぜなら ３辺相当は 三角形の合同条件だからです

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

この証明が終わったので ユークリッドの真似をしたくなります

He marked the end of a proof with the letters QED.

彼は証明の最後にQEDを添えました

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

ラテン語で "quod erat demonstrandum"

which translates literally to

翻訳すると

"what was to be proven."

「証明終了」です

But I just think of it as "look what I just did!"

でも「僕のしたことを見て」との メッセージのように思えます

I can hear what you're thinking:

あなたの心の声が聞こえますよ

why should I study proofs?

なぜ証明を学ぶべきかって？

One reason is that they could allow you to win any argument.

理由の１つは いかなる議論にも勝てるようになるからです

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

アブラハム・リンカーンは 偉大なリーダーの１人ですが

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

精神を健全に保つために 『ユークリッド原論』を

ベッドサイドテーブルに置いていました

to keep his mind in shape.

Another reason is you can make a million dollars.

もう１つの理由は １億円を手に入れられるからです

You heard me.

聞こえましたか？

１億円です

One million dollars.

マサチューセッツのクレイ数学研究所が

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

「ミレニアム懸賞問題」と名付けた 数ある未証明の命題を１問でも証明した人に

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

that it calls "the millenium problems."

与える賞金の額です

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

1990年代や2000年代に 証明された数学の難問もありますが

But beyond money and arguments,

賞金や議論はともかくとして

proofs are everywhere.

証明というものは至るところにあります

建築、芸術、コンピューター・プログラミング そしてインターネット・セキュリティ

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

If no one understood or could generate a proof,

もし誰も証明を理解したり 成し遂げることができなかったら

we could not advance these essential parts of our world.

今の世に不可欠なこのような要素は 発展させられませんでした

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

最後の理由　モノの良し悪しは 口にしてみないと理解（証明）できません

And pudding is delicious. QED.

プリンはおいしいですね

証明終了