An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Como provar uma teoria matemática - Scott Kennedy

What is proof?

O que é prova?

And why is it so important in mathematics?

e por que ela é tão importante em matemática?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Provas fornecem uma fundação sólida para matemáticos,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

lógicos, estatísticos, economistas, arquitetos, engenheiros,

and many others to build and test their theories on.

e muitos outros construirem e testarem suas teorias.

And they're just plain awesome!

E elas são simplesmente incríveis!

Let me start at the beginning.

Deixe-me começar do início.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Vou lhes apresentar um camarada chamado Euclides.

As in, "here's looking at you, Clid."

Como em, "aqui está olhando pra você, Clides."

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Ele viveu na Grécia há cerca de 2.300 anos,

and he's considered by many to be the father of geometry.

e é considerado por muitos o pai da geometria.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Portanto, se vocês se perguntavam para onde enviar suas cartas sobre geometria,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

Euclides de Alexandria é o cara a agradecer pelas provas.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Euclides não é conhecido por ter inventado ou descoberto muito da matemática

but he revolutionized the way in which it is written,

mas ele revolucionou o jeito como ela é escrita,

presented, and thought about.

apresentada e pensada.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Euclides resolveu formalizar a matemática estabelecendo as regras do jogo.

These rules of the game are called axioms.

Essas regras são chamadas axiomas.

Once you have the rules,

Uma vez que se tenha as regras,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

Euclides diz que se deve usá-las para provar aquilo que se pensa ser verdade.

If you can't, then your theorem or idea

Se não for possível, então seu teorema ou ideia

might be false.

deve ser falso.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

E se seu teorema é falso, todos os outros que vem depois dele ou o usam

might be false too.

devem ser falsos também.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Como uma viga malposicionada que pode derrubar a casa inteira.

So that's all that proofs are:

Então, é isso que as provas são:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

o uso de regras bem-estabelecidads para provar acima de tudo que um teorema é verdadeiro.

Then you use those theorems like blocks

Usa-se então esses teoremas como blocos

to build mathematics.

para construir a matemática.

Let's check out an example.

Vejamos um exemplo.

Say I want to prove that these two triangles

Digamos que eu queira provar que estes dois triângulos

are the same size and shape.

são do mesmo tamanho e forma.

In other words, they are congruent.

Em outras palavras, são congruentes.

Well, one way to do that is to write a proof

Bem, um jeito de fazê-lo é escrever uma prova

that shows that all three sides of one triangle

que mostre que os três lados de um triângulo

are congruent to all three sides of the other triangle.

são congruentes aos três lados do outro.

So how do we prove it?

Então, como provamos?

First, I'll write down what we know.

Primeiro, vou escrever o que sabemos.

We know that point M is the midpoint of AB.

Sabemos que o ponto M é o ponto médio de AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Também sabemos que os lados AC e BC já são congruentes.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Agora vejamos, o que o ponto médio nos diz?

Luckily, I know the definition of midpoint.

Por sorte, eu sei a definição de ponto médio.

It is basically the point in the middle.

É basicamente o ponto no meio.

What this means is that AM and BM are the same length,

Isso quer dizer que AM e BM tem o mesmo comprimento,

since M is the exact middle of AB.

Já que M está exatamente na metade de AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

Em outras palavras, os lados de baixo de cada um dos nossos triângulos são congruentes.

I'll put that as step two.

Vou colocar isso como passo dois.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Ótimo! Até agora tenho dois pares de lados que são congruentes.

The last one is easy.

O último é fácil.

The third side of the left triangle

O terceiro lado do triângulo da esquerda

is CM, and the third side of the right triangle is -

é CM, e o terceiro lado do triângulo da direita é -

well, also CM.

bem, CM também.

They share the same side.

eles compartilham o mesmo lado.

Of course it's congruent to itself!

Claro que ele é congruente a ele mesmo!

This is called the reflexive property.

Essa é a propriedade reflexiva.

Everything is congruent to itself.

Tudo é congruente a si mesmo.

I'll put this as step three.

Vou colocar isso como passo três.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Ta ran! Você acabou de provar que todos os três lados do triângulo da esquerda

are congruent to all three sides of the right triangle.

são congruentes a todos os três lados do triângulo da esquerda.

Plus, the two triangles are congruent

E ainda, os dois triângulos são congruentes

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

por causa do teorema lado-lado-lado de congruência de triângulos.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Quando termino uma prova, gosto de fazer como euclides fazia.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Ele marcava o fim da prova com as letras QED.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

É latim para "quod erat demonstrandum,"

which translates literally to

que se traduz literalmente para

"what was to be proven."

"como queria se demonstrar." (CQD em português)

But I just think of it as "look what I just did!"

Mas eu penso nisso como "veja o que eu acabei de fazer!"

I can hear what you're thinking:

Posso ouvir o que você está pensando:

why should I study proofs?

Por que eu estudo provas?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Uma razão é que elas podem te permitir ganhar qualquer discussão.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Abraham Lincoln, um dos maiores líderes de todos os tempos de nossa nação

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

costumava ter uma cópia dos Elementos de Euclides em sua mesa de cabeceira

to keep his mind in shape.

para manter a mente em forma.

Another reason is you can make a million dollars.

Outra razão é que você pode ganhar um milhão de dólares.

You heard me.

Você me ouviu.

One million dollars.

Um milhão de dólares.

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

Esse é o prêmio que o Instituto Clay Mathematics em Massachusetts

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

está oferecendo para quem provar uma das muitas teorias sem prova

that it calls "the millenium problems."

que são chamadas de "os problemas do milênio."

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Alguns destes foram resolvidos na década de 90 e 2000.

But beyond money and arguments,

Mas além de dinheiro e discussões,

proofs are everywhere.

provas estão em todo lugar.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Elas são as bases da arquitetura, arte, programação e segurança na internet.

If no one understood or could generate a proof,

Se ninguém entendesse ou pudesse gerar uma prova,

we could not advance these essential parts of our world.

não poderíamos evoluir essas partes essenciais do nosso mundo.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Finalmente, todos sabemos que a prova está no pudim.

And pudding is delicious. QED.

e pudim é delicionso. QED.(CQD)