An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Làm thế nào để chúng minh định lý toán học - Scott Kennedy

Translator: Y Ngoc Nguyen Diem Reviewer: Nguyen Ngoc Nguyen

What is proof?

Sự chứng minh là gì?

And why is it so important in mathematics?

Tại sao nó lại quan trọng trong toán học?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Sự chứng minh cung cấp một nền tảng vững chắc cho các nhà toán học

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

nhà logic học, nhà thống kê, nhà kinh tế, kiến trúc sư, kỹ sư,

and many others to build and test their theories on.

... để xây dựng và kiểm tra các lý thuyết của họ.

And they're just plain awesome!

Và chúng đơn giản một cách tuyệt vời!

Let me start at the beginning.

Hãy quay về lúc bắt đầu.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Tôi xin giới thiệu một người tên Ơ-clit

As in, "here's looking at you, Clid."

"Nhìn ông kìa, Ơ-clit"

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Ông ấy sống ở Hy Lạp khoảng 2,300 năm trước,

and he's considered by many to be the father of geometry.

và được xem là cha đẻ của môn hình học.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Nếu bạn đang tự hỏi làm sao để gửi thư hâm mộ,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

Alexandria Ơ-clit là người để cảm ơn cho những chứng minh đó.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Ơ-clit không được biết đến vì phát minh hay khám phá ra toán học

but he revolutionized the way in which it is written,

nhưng ông đã thay đổi cách toán học được viết ra,

presented, and thought about.

được trình bày, và được nghĩ đến.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Ơ-clit bắt đầu toán học chính thống bằng cách tạo ra các luật chơi.

These rules of the game are called axioms.

Những luật này được gọi là tiên đề.

Once you have the rules,

Khi bạn đã nắm những luật này,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

Ơ-clit yêu cầu bạn sử dụng chúng để chứng minh những gì bạn nghĩ là đúng.

If you can't, then your theorem or idea

Nếu bạn không thể, thì giả thuyết hay ý tưởng của bạn

might be false.

có thể sai.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

Và nếu chúng là sai, thì bất kì giả thuyết nào dựa trên nó

might be false too.

có lẽ cũng sẽ sai.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Giống như một chiếc xà đặt sai chỗ cũng có thể làm đổ sập cả tòa nhà.

So that's all that proofs are:

Vậy những sự chứng minh là:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

sử dụng những tiên đề để chứng minh một giả thuyết nào đó là đúng.

Then you use those theorems like blocks

Bạn sử dụng những giả thuyết này như những viên gạch

to build mathematics.

để xây dựng toán học.

Let's check out an example.

Hãy xem thử một ví dụ.

Say I want to prove that these two triangles

Tôi muốn chứng minh hai tam giác này

are the same size and shape.

là cùng kích thước và hình dạng.

In other words, they are congruent.

Nói cách khác, chúng bằng nhau

Well, one way to do that is to write a proof

Một cách để làm điều này là chứng minh

that shows that all three sides of one triangle

ba cạnh của tam giác này

are congruent to all three sides of the other triangle.

bằng ba cạnh của tam giác kia.

So how do we prove it?

Và làm sao để chứng minh?

First, I'll write down what we know.

Đầu tiên, tôi sẽ viết ra những gì ta biết.

We know that point M is the midpoint of AB.

Chúng ta biết rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Chúng ta cũng biết rằng AC và BC bằng nhau.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Nào hãy xem thử. Trung điểm cho ta biết điều gì?

Luckily, I know the definition of midpoint.

May mắn là chúng ta biết định nghĩa của trung điểm.

It is basically the point in the middle.

Nó về cơ bản là điểm nằm ở chính giữa.

What this means is that AM and BM are the same length,

Điều này có nghĩa là đoạn AM bằng đoạn BM,

since M is the exact middle of AB.

vì M nằm ngay chính giữa AB

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

Nói cách khác, cạnh đáy của mỗi tam giác là bằng nhau.

I'll put that as step two.

Đó là bước hai.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Tuyệt vời, chúng ta đã có hai cặp cạnh bằng nhau.

The last one is easy.

Cạnh cuối cùng thì quá dễ.

The third side of the left triangle

Cạnh thứ ba của tam giác bên trái

is CM, and the third side of the right triangle is -

là CM, và cạnh thứ ba của tam giác bên phải

well, also CM.

cũng là CM.

They share the same side.

Chúng có cùng một cạnh.

Of course it's congruent to itself!

Dĩ nhiên chúng sẽ bằng nhau!

This is called the reflexive property.

Đây gọi là tính chất phản thân.

Everything is congruent to itself.

Mọi thứ đều bằng chính nó.

I'll put this as step three.

Và đây sẽ là bước ba.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Bạn vừa mới chứng minh ba cạnh của tam giác bên trái

are congruent to all three sides of the right triangle.

bằng ba cạnh của tam giác bên phải.

Plus, the two triangles are congruent

Vậy hai tam giác này bằng nhau

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

theo định luật cạnh cạnh cạnh trong tam giác

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Khi kết thúc một chứng minh, tôi muốn làm như Ơ-clit đã làm.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Ông ấy đánh dấu lại bằng chữ QED

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

Tiếng Latin là "quod erat demonstrandum,"

which translates literally to

có nghĩa là

"what was to be proven."

"đã được chứng minh".

But I just think of it as "look what I just did!"

Nhưng theo tôi "nhìn tôi đã làm gì này!"

I can hear what you're thinking:

Tôi có thể biết bạn đang nghĩ gì:

why should I study proofs?

tại sao tôi phải học những chứng minh này?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Lý do đó là chúng sẽ giúp bạn thắng trong những lần tranh luận

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Abraham Lincoln, một trong những vị tổng thống vĩ đại

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

đã từng giữ một quyển sách của Ơ-clit cạnh giường ngủ

to keep his mind in shape.

để giữ đầu óc mình trong khuôn mẫu.

Another reason is you can make a million dollars.

Một lí do khác là bạn có thể kiếm được 1 triệu dola

You heard me.

Bạn đã nghe tôi rồi đấy.

One million dollars.

1 triệu dola

Đó là cái giá mà viện toán học Clay ở Massachusetts trả cho người

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

chứng minh được một trong số những bài toán chưa được giải

that it calls "the millenium problems."

đó gọi là " những vấn đề thiên niên kỷ"

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Một số đã được giải trong những năm 90 và 2000

But beyond money and arguments,

Nhưng ngoài tiền và những lời tranh luận,

proofs are everywhere.

sự chứng minh là ở mọi nơi.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Chúng nằm trong kiến trúc, nghệ thuật, chương trình máy tính, và mạng bảo mật.

If no one understood or could generate a proof,

Nếu như không ai hiểu, hay tạo ra một chứng minh,

we could not advance these essential parts of our world.

chúng ta đã không phát triển những phần quan trọng của thế giới.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Cuối cùng, chúng ta đều biết rằng chứng minh giống như một chiếc bánh.

And pudding is delicious. QED.

và bánh thì ngon. QED