An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Comment prouver une théorie mathématique - Scott Kennedy

Traducteur: Elise LECAMP Relecteur: eric vautier

What is proof?

Qu'est-ce qu'une démonstration ?

And why is it so important in mathematics?

Et pourquoi est-ce si important en mathématiques ?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Les démonstrations fournissent des bases solides pour les mathématiciens,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

logisticiens, statisticiens, économistes, architectes, ingénieurs,

and many others to build and test their theories on.

et de nombreux autres, pour construire et tester leurs théories.

And they're just plain awesome!

Et c'est vraiment génial !

Let me start at the beginning.

Laissez-moi commencer par le début.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Je vais vous présenter un type appelé Euclide.

As in, "here's looking at you, Clid."

Comme dans « À la tienne, Clid ».

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Il vivait en Grèce il y a environ 2 300 ans,

and he's considered by many to be the father of geometry.

il est considéré par beaucoup comme le père de la géométrie.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Donc si vous vous demandez à qui envoyer votre courrier de fan de géométrie,

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

Euclide d'Alexandrie est le gars à remercier pour les démonstrations.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Euclide n'est pas vraiment célèbre pour avoir inventé ou découvert beaucoup en mathématiques

but he revolutionized the way in which it is written,

mais il a révolutionné la façon dont on les écrit,

presented, and thought about.

les présente et dont on y pense.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Euclide a entrepris de formaliser les mathématiques en établissant les règles du jeu.

These rules of the game are called axioms.

Ces règles du jeu sont appelées axiomes.

Once you have the rules,

Une fois que vous avez les règles,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

Euclide dit qu'on doit les utiliser pour prouver ce qu'on pense être vrai.

If you can't, then your theorem or idea

Si vous ne pouvez pas, alors votre théorème ou votre idée

might be false.

pourrait être faux.

Si votre théorème est faux, alors les théorèmes qui en découlent

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

might be false too.

et qui l'utilisent pourraient être également faux.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

De la même façon qu'une poutre mal posée peut faire tomber toute la maison.

So that's all that proofs are:

C'est à ça que servent les démonstrations :

utiliser des règles bien établies pour prouver sans l'ombre d'un doute qu'un théorème est vrai.

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

Then you use those theorems like blocks

Ensuite vous utilisez ces théorèmes comme des briques

to build mathematics.

pour construire les mathématiques.

Let's check out an example.

Regardons un exemple.

Say I want to prove that these two triangles

Disons que je veux prouver que ces deux triangles

are the same size and shape.

ont la même taille et la même forme.

In other words, they are congruent.

En d'autres termes, qu'ils sont semblables.

Well, one way to do that is to write a proof

Eh bien, une des façons de faire ça c'est d'écrire une démonstration

that shows that all three sides of one triangle

qui montre que les trois côtés d'un des triangles

are congruent to all three sides of the other triangle.

sont semblables aux trois côtés de l'autre triangle.

So how do we prove it?

Comment le prouver ?

First, I'll write down what we know.

Tout d'abord, je vais écrire ce que je sais.

We know that point M is the midpoint of AB.

Nous savons que le point M est le centre de AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Nous savons également que les côtés AC et BC sont égaux.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Donc voyons. Que nous dit le milieu ?

Luckily, I know the definition of midpoint.

Par chance, je connais la définition du milieu.

It is basically the point in the middle.

C'est tout simplement le point au milieu.

What this means is that AM and BM are the same length,

Ce qui signifie que AM et BM ont la même longueur,

since M is the exact middle of AB.

puisque M est le milieu de AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

En d'autres termes, les bases de chacun des triangles sont identiques.

I'll put that as step two.

Voilà la deuxième étape.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Génial ! Jusqu'à présent j'ai deux paires de côtés qui sont identiques.

The last one is easy.

Le dernier est facile.

The third side of the left triangle

Le troisième côté du triangle de gauche

is CM, and the third side of the right triangle is -

est CM, et le troisième côté du triangle de droite est...

well, also CM.

... eh bien est également CM.

They share the same side.

Ils partagent le même côté.

Of course it's congruent to itself!

Bien sûr, il est identique à lui-même !

This is called the reflexive property.

On appelle ça une propriété réflexive.

Everything is congruent to itself.

Tout est identique à soi-même.

I'll put this as step three.

Voilà l'étape 3.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Et voilà ! Vous venez tout juste de prouver que les trois côtés du triangle de gauche

are congruent to all three sides of the right triangle.

sont égaux aux trois côtés du triangle de droite.

Plus, the two triangles are congruent

De plus, les deux triangles sont congruents

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

d'après le théorème de congruence des triangles.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Quand on termine une démonstration, j'aime faire ce qu'Euclide faisait.

He marked the end of a proof with the letters QED.

Il indiquait la fin de la démonstration avec les lettres QED.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

C'est du latin pour « Quod erat demonstrandum »,

which translates literally to

qui se traduit littéralement par

"what was to be proven."

« ce qu'il fallait démontrer ».

But I just think of it as "look what I just did!"

Mais pur moi, c'est plutôt « Regardez ce que je viens de faire ! »

I can hear what you're thinking:

J'entends ce que vous pensez :

why should I study proofs?

pourquoi est-ce que je devrais étudier les démonstrations ?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Une des raisons est qu'elles vous permettront de gagner n'importe quelle dispute.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Abraham Lincoln, un des plus grands leaders de notre nation

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

avait l'habitude de garder un exemplaire des sur sa table de chevet

to keep his mind in shape.

pour garder son esprit en forme.

Another reason is you can make a million dollars.

Une autre raison est que ça peut vous faire gagner un million de dollars.

You heard me.

Vous m'avez bien entendu.

Un million de dollars.

One million dollars.

C'est la récompense que l'Institut de mathématiques Clay au Massachusetts

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

est prêt à payer à quiconque trouvera la solution à une des nombreuses conjectures

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

that it calls "the millenium problems."

qu'on appelle « les problèmes du millénaire ».

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Quelques-uns ont déjà été résolus dans les années 90 et 2000.

But beyond money and arguments,

Mais au-delà de l'argent et des argumentations,

proofs are everywhere.

les démonstrations sont partout.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Elles sous-tendent l'architecture, l'art, la programmation informatique et la sécurité Internet.

If no one understood or could generate a proof,

Si personne n'avait compris ou ne pouvait faire les démonstrations,

we could not advance these essential parts of our world.

nous ne pourrions pas faire avancer ces domaines essentiels dans notre monde.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Finalement, nous savons tous que l'on juge l'arbre à ses fruits.

And pudding is delicious. QED.

Et ils sont délicieux. QED.