An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Fordító: Péter Pallós Lektor: Maria Ruzsane Cseresnyes

What is proof?

Mit nevezünk bizonyításnak?

And why is it so important in mathematics?

Miért olyan fontos a matematikában a bizonyítás?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

A bizonyítások szilárd alapot adnak matematikusoknak, statisztikusoknak,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

logikával foglalkozóknak, építészeknek, közgazdászoknak, mérnököknek stb.,

and many others to build and test their theories on.

hogy elméleteket alkossanak és teszteljék őket.

And they're just plain awesome!

Ez egyszerűen klassz!

Let me start at the beginning.

Kezdjük az elején.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Bemutatom nektek Eukleidészt.

As in, "here's looking at you, Clid."

Mint a Casablancában: "Nézz a szemembe, kicsim!"

He lived in Greece about 2,300 years ago,

2300 éve, görög földön élt.

and he's considered by many to be the father of geometry.

Sokan a mértan atyjának tartják.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Hogy kinek küldd a mértanért rajongó leveledet?

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

Az alexandriai Eukleidészt illeti köszönet a bizonyításért.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Eukleidész nem a sok matematikai fölfedezéséről híres,

but he revolutionized the way in which it is written,

hanem arról, hogy lejegyzési módját és a matematikáról vallott felfogást

presented, and thought about.

forradalmasította.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Eukleidész formalizálta a matematikát, és fölállította a játékszabályait.

These rules of the game are called axioms.

A játékszabályokat axiómáknak hívjuk.

Once you have the rules,

Ha elfogadjuk őket, Eukleidész szerint

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

azokat kell alkalmaznunk, ha bizonyítani akarjuk igazunkat.

If you can't, then your theorem or idea

Ha nem tudjuk bebizonyítani a tételt vagy gondolatot,

might be false.

akkor az lehet, hogy hamis.

Ha a tételünk hamis, a ráépülő vagy az azt fölhasználó tételek is

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

might be false too.

hamisak lehetnek.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Ahogy egy rosszul elhelyezett gerenda miatt összedőlhet a ház.

A bizonyításban a szabályokat használva

So that's all that proofs are:

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

minden kétséget kizárva megmutatjuk némely a tételről, hogy teljesül.

Then you use those theorems like blocks

Aztán e tételeket építőkövekként használva

to build mathematics.

fölépítjük a matematikát.

Let's check out an example.

Nézzünk erre egy példát!

Say I want to prove that these two triangles

Mondjuk, be akarom bizonyítani, hogy ez a két háromszög

are the same size and shape.

alakra és méretre egyforma,

In other words, they are congruent.

azaz egybevágók.

Well, one way to do that is to write a proof

Az egyik módszer, hogy bebizonyítjuk:

that shows that all three sides of one triangle

az egyik háromszög mindhárom oldala egybevágó (egyenlő)

are congruent to all three sides of the other triangle.

a másik háromszög megfelelő oldalával.

So how do we prove it?

Hogyan bizonyítjuk?

First, I'll write down what we know.

Először leírom, amit tudunk.

We know that point M is the midpoint of AB.

Tudjuk, hogy az M pont az AB szakasz felezője.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Azt is tudjuk, hogy az AC és a BC oldalak egyenlők.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Nézzük tovább! Miről nevezetes az M pont?

Luckily, I know the definition of midpoint.

Szerencsére emlékszem az M definíciójára.

It is basically the point in the middle.

Ez a szakasz középpontja.

What this means is that AM and BM are the same length,

Ez azt jelenti, hogy az AM = BM,

since M is the exact middle of AB.

mivel M épp a szakasz közepén fekszik.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

Azaz a két háromszög alsó oldalai egyenlők.

I'll put that as step two.

Ez lesz a második lépés.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Pompás! Eddig két megfelelő oldal egyenlő.

The last one is easy.

Az utolsó lépés könnyű.

The third side of the left triangle

A bal oldali és a jobb oldali háromszög

is CM, and the third side of the right triangle is -

harmadik oldala,

a CM, közös.

well, also CM.

They share the same side.

Azért ugyanakkorák.

Of course it's congruent to itself!

Nyilván egybevágók önmagukkal!

This is called the reflexive property.

Ezt mondjuk a reláció reflexív tulajdonságának.

Minden egybevágó önmagával.

Everything is congruent to itself.

I'll put this as step three.

Ez lesz a harmadik lépés.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Hurrá! Bizonyítottuk, hogy a bal oldali háromszög mindhárom oldala

are congruent to all three sides of the right triangle.

egybevágó a jobb oldali háromszög mindhárom oldalával.

Plus, the two triangles are congruent

Plusz, hogy a két háromszög egybevágó

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

mert ezt a három oldal egyenlősége garantálja.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Szeretem úgy befejezni a bizonyítást, ahogy Eukleidész is tette:

He marked the end of a proof with the letters QED.

a bizonyítás végét QED betűkkel jelölte.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

Ez a latin "quod erat demonstrandum" rövidítése,

which translates literally to

ami annyit tesz:

"what was to be proven."

"ez volt bizonyítandó".

But I just think of it as "look what I just did!"

De én úgy gondolok erre: "nézzük csak, mit csináltunk?!"

I can hear what you're thinking:

Hallom, amint azt mondjátok:

why should I study proofs?

minek tanulmányozni a bizonyításokat?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Az egyik oka, hogy így minden vitában győzhetünk.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Abraham Lincoln, minden idők egyik legnagyobb amerikai vezetője

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

Eukleidész Elemek c. könyvét tartotta éjjeliszekrényén,

to keep his mind in shape.

hogy frissen tartsa elméjét.

Another reason is you can make a million dollars.

A másik oka, hogy ezzel egymillió dollárt kereshettek.

You heard me.

Jól hallottátok!

Egymillió dollárt!

One million dollars.

Ennyit fizetne a massachusettsi Clay Matematikai Intézet bárkinek

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

az egyik eddig be nem bizonyított tétel igazolásáért:

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

that it calls "the millenium problems."

a "millennium problémák"-ért.

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Egy párat közülük a 90-es és a 2000-es években bebizonyítottak.

But beyond money and arguments,

De a pénzen és a vitán túlmenően

proofs are everywhere.

mindenhol találkozunk bizonyításokkal.

Megalapozzák az építészetet, művészetet, programozást és az internetbiztonságot.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

If no one understood or could generate a proof,

Ha a bizonyításhoz senki sem értett volna, vagy nem lett volna képes megadni,

we could not advance these essential parts of our world.

e lényeges területeken nem fejlődhettünk volna.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

Végtére is, a bizonyíték maga a puding.

And pudding is delicious. QED.

A puding pedig finom. QED.