An introduction to mathematical theorems - Scott Kennedy

Jak udowodnić teorię matematyczną - Scott Kennedy

Tłumaczenie: Laura Dwulit Korekta: Rysia Wand

What is proof?

Co to jest dowód?

And why is it so important in mathematics?

Dlaczego jest ważny w matematyce?

Proofs provide a solid foundation for mathematicians

Dowody stanowią podstawę dla matematyków,

logicians, statisticians, economists, architects, engineers,

logików, statystyków, ekonomistów, architektów, inżynierów

and many others to build and test their theories on.

i wielu innych osób tworzących i weryfikujących teorie.

And they're just plain awesome!

Dowody są fantastyczne!

Let me start at the beginning.

Zacznijmy od początku.

I'll introduce you to a fellow named Euclid.

Zapoznam was z Euklidesem.

As in, "here's looking at you, Clid."

Cześć, Euklides!

He lived in Greece about 2,300 years ago,

Euklides żył w Grecji 2300 lat temu

and he's considered by many to be the father of geometry.

i jest uważany za ojca geometrii.

So if you've been wondering where to send your geometry fan mail,

Listy od wielbicieli geometrii

Euclid of Alexandria is the guy to thank for proofs.

należy kierować do Euklidesa, któremu zawdzięczamy dowody.

Euclid is not really known for inventing or discovering a lot of mathematics

Euklides nie wniósł wiele do samej matematyki,

ale zrewolucjonizował

but he revolutionized the way in which it is written,

prezentację i myśl matematyczną.

presented, and thought about.

Euclid set out to formalize mathematics by establishing the rules of the game.

Euklides sformalizował matematykę przez ustalenie zasad gry.

These rules of the game are called axioms.

Zasady tej gry są nazywane aksjomatami.

Once you have the rules,

Kiedy masz zasady,

Euclid says you have to use them to prove what you think is true.

Euklides każe ci ich użyć do udowodnienia tezy.

If you can't, then your theorem or idea

Jeśli nie możesz, to twoje twierdzenie

might be false.

może być błędne.

And if your theorem is false, then any theorems that come after it and use it

Jeśli twierdzenie jest błędne, to wszystko, co na nim bazuje,

might be false too.

może być nieprawidłowe.

Like how one misplaced beam can bring down the whole house.

Podobnie jak przestawiona belka może zawalić cały dom.

So that's all that proofs are:

Dowody to ogólnie akceptowane zasady,

using well-established rules to prove beyond a doubt that some theorem is true.

wykazujące prawdziwość twierdzenia.

Then you use those theorems like blocks

Używasz twierdzeń jak klocków,

to build mathematics.

żeby zbudować matematykę.

Let's check out an example.

Sprawdźmy to na przykładzie.

Say I want to prove that these two triangles

Chcę udowodnić, że te dwa trójkąty

are the same size and shape.

są identycznego rozmiaru i kształtu,

In other words, they are congruent.

czyli są przystające.

Well, one way to do that is to write a proof

Jednym sposobem jest rozpisanie dowodu

that shows that all three sides of one triangle

na to, że wszystkie trzy boki trójkąta

are congruent to all three sides of the other triangle.

są przystające do trzech boków drugiego trójkąta.

So how do we prove it?

W jaki sposób to udowodnić?

First, I'll write down what we know.

Najpierw zapiszę to, co już wiemy.

We know that point M is the midpoint of AB.

Punkt M jest punktem środkowym AB.

We also know that sides AC and BC are already congruent.

Poza tym boki AC i BC są przystające.

Now let's see. What does the midpoint tell us?

Ale o czym mówi nam punkt środkowy?

Luckily, I know the definition of midpoint.

Na szczęście znam definicję punktu środkowego.

It is basically the point in the middle.

Jest to punkt znajdujący się na środku,

What this means is that AM and BM are the same length,

czyli że AM i BM są tej samej długości,

since M is the exact middle of AB.

gdyż M to środek AB.

In other words, the bottom side of each of our triangles are congruent.

Czyli dolne boki obu trójkątów są przystające.

I'll put that as step two.

To będzie krokiem drugim.

Great! So far I have two pairs of sides that are congruent.

Świetnie! Na razie mam dwie pary przystających boków.

The last one is easy.

Ostatni krok jest prosty.

The third side of the left triangle

Trzeci bok lewego trójkąta

is CM, and the third side of the right triangle is -

to CM, a trzeci bok drugiego trójkąta

well, also CM.

to również CM.

They share the same side.

Trójkąty dzielą ten sam bok,

Of course it's congruent to itself!

który, rzecz jasna, przystaje do samego siebie.

This is called the reflexive property.

Jest to cecha zwrotna.

Everything is congruent to itself.

Każdy kształt przystaje do samego siebie.

I'll put this as step three.

To będzie krok trzeci.

Ta dah! You've just proven that all three sides of the left triangle

Udowodniliście, że trzy boki lewego trójkąta

are congruent to all three sides of the right triangle.

są przystające do trzech boków prawego trójkąta.

Plus, the two triangles are congruent

Ponadto, trójkąty są przystające,

because of the side-side-side congruence theorem for triangles.

ze względu na przystawanie bok-bok-bok.

When finished with a proof, I like to do what Euclid did.

Kiedy skończyłem dowód, zrobiłem to samo, co Euklides,

He marked the end of a proof with the letters QED.

który oznaczył koniec dowodu literami QED.

It's Latin for "quod erat demonstrandum,"

Jest to łaciński skrót od: "quod erat demonstrandum",

which translates literally to

który tłumaczy się:

"what was to be proven."

"co było do udowodnienia".

But I just think of it as "look what I just did!"

Ale dla mnie to: "spójrzcie, co właśnie zrobiłem!".

I can hear what you're thinking:

Wiem, co myślicie:

why should I study proofs?

po co mam się uczyć dowodów?

One reason is that they could allow you to win any argument.

Dowody umożliwiają wygranie dyskusji.

Abraham Lincoln, one of our nation's greatest leaders of all time

Abraham Lincoln, jeden z największych narodowych liderów,

used to keep a copy of Euclid's Elements on his bedside table

trzymał "Elementy" Euklidesa na stoliku nocnym,

to keep his mind in shape.

by zachować umysł w formie.

Another reason is you can make a million dollars.

Poza tym, dzięki dowodom możesz zarobić milion dolarów.

You heard me.

Dobrze słyszysz.

One million dollars.

Milion dolarów.

Tę nagrodę Instytut Matematyczny Claya w Massachusetts

That's the price that the Clay Mathematics Institute in Massachusetts

zapłaci każdemu, kto udowodni jedno z niepewnych twierdzeń,

is willing to pay anyone who proves one of the many unproven theories

that it calls "the millenium problems."

zwanymi Problemami Milenijnymi.

A couple of these have been solved in the 90s and 2000s.

Część z nich została rozwiązana w latach 90. i po roku 2000.

But beyond money and arguments,

Bez względu na pieniądze i spory,

proofs are everywhere.

dowody są wszędzie.

They underly architecture, art, computer programming, and internet security.

Są częścią architektury, sztuki, programowania i ochrony internetu.

If no one understood or could generate a proof,

Gdyby nikt nie rozumiał lub nie umiał stworzyć dowodu,

we could not advance these essential parts of our world.

nie moglibyśmy rozwinąć wszelkich ważnych dziedzin.

Finally, we all know that the proof is in the pudding.

W końcu wszyscy wiemy, koniec wieńczy dzieło.

And pudding is delicious. QED.

A dzieło jest pyszne. QED.