Ron Eglash: The fractals at the heart of African designs

מתרגם: Yifat Adler מבקר: Ido Dekkers

I want to start my story in Germany, in 1877,

אתחיל את סיפורי בגרמניה בשנת 1877,

with a mathematician named Georg Cantor.

עם מתמטיקאי בשם גיאורג קנטור.

And Cantor decided he was going to take a line and erase the middle third of the line,

קנטור לקח קו ומחק את השליש האמצעי שלו.

and then take those two resulting lines and bring them back into the same process, a recursive process.

הוא חזר על התהליך בשני הקווים שנוצרו בתהליך רקורסיבי.

So he starts out with one line, and then two,

הוא התחיל עם קו אחד, ואז שניים,

and then four, and then 16, and so on.

ואז 4, 16, וכן הלאה.

And if he does this an infinite number of times, which you can do in mathematics,

אם יחזור על כך אינסוף פעמים, כפי שניתן לעשות במתמטיקה,

he ends up with an infinite number of lines,

הוא יקבל אינסוף קווים,

each of which has an infinite number of points in it.

שבכל אחד מהם יש אינסוף נקודות.

So he realized he had a set whose number of elements was larger than infinity.

כשהוא הבין שהוא יצר קבוצה עם מספר איברים גדול מהאינסוף,

And this blew his mind. Literally. He checked into a sanitarium. (Laughter)

הוא יצא מדעתו ואושפז בסנטריום.

And when he came out of the sanitarium,

כשהוא השתחרר,

he was convinced that he had been put on earth to found transfinite set theory

הוא היה משוכנע שמטרתו עלי אדמות היא לייסד את תורת הקבוצות העל-סופית,

because the largest set of infinity would be God Himself.

מכיוון שהקבוצה האינסופית הגדולה ביותר היא אלוהים עצמו.

He was a very religious man.

הוא היה אדם דתי מאוד.

He was a mathematician on a mission.

הוא היה מתמטיקאי בשליחות.

And other mathematicians did the same sort of thing.

מתמטיקאים אחרים עשו דבר דומה.

A Swedish mathematician, von Koch,

מתמטיקאי שוודי בשם וון קוך

decided that instead of subtracting lines, he would add them.

החליט לחבר קווים במקום לחסר אותם.

And so he came up with this beautiful curve.

הוא קיבל את העקומה היפה הזאת.

And there's no particular reason why we have to start with this seed shape;

אין סיבה להתחיל דווקא עם צורת הגרעין הזאת.

we can use any seed shape we like.

ניתן להתחיל בכל צורת גרעין שנרצה.

And I'll rearrange this and I'll stick this somewhere -- down there, OK --

אסדר מחדש ואקבע את זה כאן למטה...

and now upon iteration, that seed shape sort of unfolds into a very different looking structure.

ע"י חזרות, צורת הגרעין נפרשת למבנה שונה לגמרי.

So these all have the property of self-similarity:

לכל אלה יש תכונה של דמיון עצמי -

the part looks like the whole.

החלק נראה כמו השלם.

It's the same pattern at many different scales.

זהו אותו הדפוס בקני מידה שונים.

Now, mathematicians thought this was very strange

מתמטיקאים חשבו שזה מאוד מוזר.

because as you shrink a ruler down, you measure a longer and longer length.

ככל שהסרגל מתכווץ - האורכים נעשים יותר ויותר גדולים.

And since they went through the iterations an infinite number of times,

מכיוון שהם ביצעו אינסוף חזרות,

as the ruler shrinks down to infinity, the length goes to infinity.

כשהסרגל מתכווץ לאינסוף, האורך גדל לאינסוף.

This made no sense at all,

זה לא היה הגיוני,

so they consigned these curves to the back of the math books.

אז הם החביאו את העקומות אלה בסוף ספרי המתמטיקה

They said these are pathological curves, and we don't have to discuss them.

ואמרו שהן עקומות פתולוגיות ואין צורך לדון בהן.

(Laughter)

[צחוק]

And that worked for a hundred years.

זה עבד במשך מאה שנים.

And then in 1977, Benoit Mandelbrot, a French mathematician,

בשנת 1977, בנואה מנדלברוט, מתמטיקאי צרפתי,

realized that if you do computer graphics and used these shapes he called fractals,

הבין שבאמצעות גרפיקה ממוחשבת ושימוש בצורות האלה, שהוא כינה פרקטלים,

you get the shapes of nature.

ניתן לקבל את צורות הטבע.

You get the human lungs, you get acacia trees, you get ferns,

ניתן לקבל ריאות אנושיות, עצי שיטה ושרכים.

you get these beautiful natural forms.

ניתן לקבל צורות יפהפיות של הטבע.

If you take your thumb and your index finger and look right where they meet --

אם מתבוננים במקום המפגש בין האגודל לאצבע

go ahead and do that now --

- נסו זאת עכשיו -

-- and relax your hand, you'll see a crinkle,

אם תרפו את היד - תראו קמט,

and then a wrinkle within the crinkle, and a crinkle within the wrinkle. Right?

וקימטוט בתוך הקמט, וקמט בתוך הקימטוט.

Your body is covered with fractals.

גופנו מכוסה בפרקטלים.

The mathematicians who were saying these were pathologically useless shapes?

המתמטיקאים שאמרו שהם צורות פתולוגיות חסרות ערך,

They were breathing those words with fractal lungs.

נשמו את מילותיהם עם ריאות פרקטליות.

It's very ironic. And I'll show you a little natural recursion here.

זה מאוד אירוני. אראה לכם רקורסיה בטבע.

Again, we just take these lines and recursively replace them with the whole shape.

ניקח את הקווים האלה ונחליף אותם בצורה השלמה באופן רקורסיבי.

So here's the second iteration, and the third, fourth and so on.

זאת החזרה השניה, השלישית, הרביעית, וכן הלאה.

So nature has this self-similar structure.

לטבע יש מבנה עם דמיון עצמי.

Nature uses self-organizing systems.

הטבע משתמש במערכות ארגון-עצמי.

Now in the 1980s, I happened to notice

בשנות ה-80, שמתי לב במקרה,

that if you look at an aerial photograph of an African village, you see fractals.

שאם מתבוננים בתמונה אווירית של כפר אפריקאי, רואים פרקטלים.

And I thought, "This is fabulous! I wonder why?"

חשבתי, "זה נהדר! מה הסיבה לכך?"

And of course I had to go to Africa and ask folks why.

וכמובן, הייתי חייב לנסוע לאפריקה ולברר את העניין.

So I got a Fulbright scholarship to just travel around Africa for a year

השגתי מילגה של פולברייט כדי להסתובב באפריקה במשך שנה

asking people why they were building fractals,

ולשאול אנשים למה הם בונים פרקטלים,

which is a great job if you can get it.

עבודה נהדרת למי שמצליח להשיג אותה.

(Laughter)

[צחוק]

And so I finally got to this city, and I'd done a little fractal model for the city

לבסוף, הגעתי לעיר הזו, שבניתי מודל פרקטלי קטן שלה,

just to see how it would sort of unfold --

רק כדי לראות איך הוא נפרש -

but when I got there, I got to the palace of the chief,

אבל כשהגעתי לשם, הגעתי לארמון של הצ'יפ,

and my French is not very good; I said something like,

ובצרפתית גרועה, אמרתי משהו כמו:

"I am a mathematician and I would like to stand on your roof."

"אני מתמטיקאי ואני רוצה לעמוד על הגג שלך".

But he was really cool about it, and he took me up there,

הוא לא התרגש, לקח אותי למעלה,

and we talked about fractals.

ודיברנו על פרקטלים.

And he said, "Oh yeah, yeah! We knew about a rectangle within a rectangle,

והוא אמר, "כן, כן! אנחנו יודעים על מלבן בתוך מלבן.

we know all about that."

אנחנו יודעים הכל על כך."

And it turns out the royal insignia has a rectangle within a rectangle within a rectangle,

התברר שבסמלים המלכותיים יש מלבן בתוך מלבן בתוך מלבן.

and the path through that palace is actually this spiral here.

המסלול בתוך הארמון הוא, למעשה, הספירלה הזאת כאן.

And as you go through the path, you have to get more and more polite.

ככל שמתקדמים במסלול, צריכים להיות יותר מנומסים.

So they're mapping the social scaling onto the geometric scaling;

הם ממפים את הסולם החברתי על הסולם הגיאומטרי.

it's a conscious pattern. It is not unconscious like a termite mound fractal.

זהו דפוס מודע. הוא אינו לא-מודע כמו פרקטל של תל טרמיטים.

This is a village in southern Zambia.

זהו כפר בדרום זמביה.

The Ba-ila built this village about 400 meters in diameter.

הבא-אילה בנו את הכפר בקוטר של כ-400 מטר.

You have a huge ring.

יש כאן טבעת גדולה.

The rings that represent the family enclosures get larger and larger as you go towards the back,

הטבעות של מתחמי המשפחה גדלות ככל שמתקדמים לאחור.

and then you have the chief's ring here towards the back

הטבעת של הצ'יפים נמצאת לקראת אחורי הכפר,

and then the chief's immediate family in that ring.

והמשפחה הקרובה של הצ'יפ בטבעת הזאת.

So here's a little fractal model for it.

זהו מודל פרקטלי של הכפר.

Here's one house with the sacred altar,

זהו בית אחד עם המקום המקודש.

here's the house of houses, the family enclosure,

זהו בית הבתים - המתחם המשפחתי.

with the humans here where the sacred altar would be,

האנשים נמצאים במיקום של המקום המקודש.

and then here's the village as a whole --

זהו כל הכפר -

a ring of ring of rings with the chief's extended family here, the chief's immediate family here,

טבעת של טבעת של טבעות. המשפחה המורחבת של הצ'יפ כאן, והמשפחה הקרובה שלו כאן.

and here there's a tiny village only this big.

וזהו כפר קטנטן בגודל הזה.

Now you might wonder, how can people fit in a tiny village only this big?

אם תתהו, איך אנשים יכולים לגור בכפר קטנטן שכזה?

That's because they're spirit people. It's the ancestors.

זה מכיוון שהוא מיועד לאנשי הרוחות - האבות הקדמונים.

And of course the spirit people have a little miniature village in their village, right?

וגם לאנשי הרוחות יש כפר מיניאטורי בתוך הכפר שלהם.

So it's just like Georg Cantor said, the recursion continues forever.

בדיוק כמו שגיאורג קנטור אמר. הרקורסיה נמשכת לנצח.

This is in the Mandara mountains, near the Nigerian border in Cameroon, Mokoulek.

בהרי המנדרה, בקמרון ליד הגבול עם ניגריה, נמצא הכפר מוקולק.

I saw this diagram drawn by a French architect,

ראיתי את התרשים הזה שצוייר ע"י ארכיטקט צרפתי,

and I thought, "Wow! What a beautiful fractal!"

וחשבתי, "וואו! איזה פרקטל יפה!"

So I tried to come up with a seed shape, which, upon iteration, would unfold into this thing.

ניסיתי להכין צורת גרעין, שע"י חזרות תפרש לדבר הזה,

I came up with this structure here.

והגעתי למבנה הזה.

Let's see, first iteration, second, third, fourth.

בואו נראה. חזרה ראשונה, שנייה, שלישית, רביעית.

Now, after I did the simulation,

לאחר שביצעתי את הסימולציה הזאת,

I realized the whole village kind of spirals around, just like this,

הבנתי שכל הכפר בנוי כספירלה, כמו כאן -

and here's that replicating line -- a self-replicating line that unfolds into the fractal.

זוהי השורה המשוכפלת - שורה שמשכפלת את עצמה ונפרשת לפרקטל.

Well, I noticed that line is about where the only square building in the village is at.

שמתי לב שהשורה נמצאת במקום של הבניין המרובע היחיד בכפר.

So, when I got to the village,

אז כשהגעתי לכפר

I said, "Can you take me to the square building?

אמרתי, "תוכלו לקחת אותי לבניין המרובע?

I think something's going on there."

אני חושב שמשהו מתרחש שם."

And they said, "Well, we can take you there, but you can't go inside

הם אמרו, "נוכל לקחת אותך אבל לא תוכל להכנס.

because that's the sacred altar, where we do sacrifices every year

זהו המקום המקודש, בו מקריבים קורבנות כל שנה

to keep up those annual cycles of fertility for the fields."

כדי לשמור על מחזורי השנה של הפוריות עבור השדות."

And I started to realize that the cycles of fertility

התחלתי להבין שמחזורי הפוריות הם כמו

were just like the recursive cycles in the geometric algorithm that builds this.

המחזורים הרקורסיביים באלגוריתם הגיאומטרי שבונה זאת.

And the recursion in some of these villages continues down into very tiny scales.

הרקורסיה בחלק מהכפרים ממשיכה למימדים מאוד קטנים.

So here's a Nankani village in Mali.

זהו כפר נאנקאני במאלי.

And you can see, you go inside the family enclosure --

בתוך מתחם המשפחה אפשר לראות

you go inside and here's pots in the fireplace, stacked recursively.

סירים באח המסודרים בערימה רקורסיבית.

Here's calabashes that Issa was just showing us,

אלו קדירות שאיסה הראה לנו.

and they're stacked recursively.

הן בערימה רקורסיבית.

Now, the tiniest calabash in here keeps the woman's soul.

בקדירה הקטנה ביותר שוכנת נשמת האישה.

And when she dies, they have a ceremony

כאשר היא מתה, הם עורכים טקס

where they break this stack called the zalanga and her soul goes off to eternity.

בו שוברים את הערימה הנקראת זלנגה והנשמה שלה עוברת אל עולם הנצח.

Once again, infinity is important.

ושוב, האינסוף חשוב.

Now, you might ask yourself three questions at this point.

בשלב הזה, תוכלו לשאול את עצמכם שלוש שאלות.

Aren't these scaling patterns just universal to all indigenous architecture?

"האם הדפוסים המדורגים האלה הם לא פשוט אוניברסליים לכל הארכיטקטורות הילידיות?"

And that was actually my original hypothesis.

זאת היתה ההנחה המקורית שלי.

When I first saw those African fractals,

בפעם הראשונה בה ראיתי את הפרקטלים האפריקאים,

I thought, "Wow, so any indigenous group that doesn't have a state society,

חשבתי, "וואו, אז לכל קבוצה ילידית בלי חברה מדינית או היררכיה דומה,

that sort of hierarchy, must have a kind of bottom-up architecture."

חיבת להיות ארכיטקטורה מסוג מטה-מעלה."

But that turns out not to be true.

אבל זה התברר כלא נכון.

I started collecting aerial photographs of Native American and South Pacific architecture;

התחלתי לאסוף תמונות אוויריות של ארכיטקטורה ילידית מאמריקה ומדרום האוקינוס השקט.

only the African ones were fractal.

רק בתמונות האפריקאיות היו פרקטלים.

And if you think about it, all these different societies have different geometric design themes that they use.

ואם חושבים על זה, כל אחת מהחברות השונות האלה משתמשת במוטיבים גיאומטריים שונים.

So Native Americans use a combination of circular symmetry and fourfold symmetry.

ילידים אמריקאים משתמשים בשילוב של סימטריה מעגלית וסימטריה מרובעת.

You can see on the pottery and the baskets.

ניתן לראותה על כלי החרס והסלים.

Here's an aerial photograph of one of the Anasazi ruins;

זוהי תמונה אווירית של אחת מחורבות האנאסאזי.

you can see it's circular at the largest scale, but it's rectangular at the smaller scale, right?

אתם יכולים לראות שהיא מעגלית בקנה המידה הגדול, אבל מלבנית בקנה המידה הקטן.

It is not the same pattern at two different scales.

זאת לא אותה דוגמא בקני מידה שונים.

Second, you might ask,

השאלה השניה שתוכלו לשאול היא,

"Well, Dr. Eglash, aren't you ignoring the diversity of African cultures?"

"ובכן, ד"ר אגלש, האם אינך מתעלם מהגיוון של התרבויות האפריקאיות?"

And three times, the answer is no.

והתשובה היא "לא" כפול 3.

First of all, I agree with Mudimbe's wonderful book, "The Invention of Africa,"

ראשית, אני מסכים עם הספר של מודימבה, "ההמצאה של אפריקה",

that Africa is an artificial invention of first colonialism,

שאפריקה היא המצאה מלאכותית של הקולוניאליזם הראשון

and then oppositional movements.

ושל תנועות ההתנגדות.

No, because a widely shared design practice doesn't necessarily give you a unity of culture --

"לא", מכיוון שעיצוב משותף לא מצביע בהכרח על תרבות משותפת,

and it definitely is not "in the DNA."

והוא בהחלט לא נמצא בדנ"א.

And finally, the fractals have self-similarity --

ולבסוף, לפרקטלים יש דמיון עצמי

so they're similar to themselves, but they're not necessarily similar to each other --

ולכן הם דומים לעצמם, אבל לא בהכרח דומים זה לזה.

you see very different uses for fractals.

ניתן לראות שימוש שונה מאוד בפרקטלים.

It's a shared technology in Africa.

זוהי טכנולוגיה משותפת באפריקה.

And finally, well, isn't this just intuition?

ושאלה אחרונה, "האם לא מדובר בסה"כ באינטואיציה?

It's not really mathematical knowledge.

זהו לא ידע מתמטי אמיתי.

Africans can't possibly really be using fractal geometry, right?

לא יתכן שאפריקאים משתמשים בגיאומטריה פרקטלית.

It wasn't invented until the 1970s.

הרי לא המציאו אותה עד שנות ה-70 של המאה ה-20."

Well, it's true that some African fractals are, as far as I'm concerned, just pure intuition.

ובכן, חלק מהפרקטלים האפריקאים הם מבחינתי אכן אינטואיציה טהורה.

So some of these things, I'd wander around the streets of Dakar

גם חלק מהדברים האלה. שוטטתי ברחובות דאקאר

asking people, "What's the algorithm? What's the rule for making this?"

ושאלתי אנשים, "מהו האלגוריתם? מה הם כללי הבניה?"

and they'd say,

והם אמרו,

"Well, we just make it that way because it looks pretty, stupid." (Laughter)

"טיפש, אנחנו עושים אותם ככה פשוט כי זה יפה."

But sometimes, that's not the case.

אבל לפעמים המקרה שונה.

In some cases, there would actually be algorithms, and very sophisticated algorithms.

לפעמים, קיימים אלגוריתמים מאוד מתוחכמים.

So in Manghetu sculpture, you'd see this recursive geometry.

בפיסול של מנגטו ניתן לראות את גיאומטריה הרקורסיבית הזו.

In Ethiopian crosses, you see this wonderful unfolding of the shape.

בצלבים אתיופיים ניתן לראות את הפרישה הנפלאה הזו של הצורה.

In Angola, the Chokwe people draw lines in the sand,

באנגולה, אנשי הצ'וקווה מציירים קווים בחול.

and it's what the German mathematician Euler called a graph;

זהו מה שהמתמטיקאי הגרמני אויילר כינה גרף.

we now call it an Eulerian path --

עכשיו אנו מכנים אותו מסלול אוילר -

you can never lift your stylus from the surface

אסור להרים את הסטיילוס מהמשטח

and you can never go over the same line twice.

ואסור לעבור על אותו קו פעמיים.

But they do it recursively, and they do it with an age-grade system,

אבל הם עושים זאת ברקורסיה, והם עושים זאת עם מערכת דירוג-גיל.

so the little kids learn this one, and then the older kids learn this one,

הילדים הקטנים לומדים את זה, והמבוגרים יותר את זה.

then the next age-grade initiation, you learn this one.

בטקס החניכה הבא, לומדים את זה.

And with each iteration of that algorithm,

בכל חזרה של האלגוריתם

you learn the iterations of the myth.

הם לומדים את החזרות של המיתוס.

You learn the next level of knowledge.

לומדים את הרמה הבאה של הידע.

And finally, all over Africa, you see this board game.

ולבסוף, בכל רחבי אפריקה, תוכלו למצוא את משחק הלוח הזה.

It's called Owari in Ghana, where I studied it;

הוא נקרא אווארי בגאנה, שם חקרתי אותו.

it's called Mancala here on the East Coast, Bao in Kenya, Sogo elsewhere.

הוא נקרא מנקלה בחוף המזרחי, באו - בקניה וסוגו בכל מקום אחר.

Well, you see self-organizing patterns that spontaneously occur in this board game.

אתם יכולים לראות דפוסי ארגון-עצמי שנוצרים באופן ספונטני במשחק הזה.

And the folks in Ghana knew about these self-organizing patterns

והחבר'ה בגאנה הכירו את דפוסי הארגון-העצמי האלה

and would use them strategically.

והשתמשו בהם בצורה אסטרטגית.

So this is very conscious knowledge.

כלומר זהו ידע מודע בהחלט.

Here's a wonderful fractal.

זהו פרקטל מדהים.

Anywhere you go in the Sahel, you'll see this windscreen.

בכל מקום בסאהל ניתן לראות את מגיני הרוח האלה.

And of course fences around the world are all Cartesian, all strictly linear.

בכל רחבי העולם הגדרות הן קרטזיות ולגמרי לינאריות.

But here in Africa, you've got these nonlinear scaling fences.

באפריקה ישנן גדרות לא-לינאריות בגדלים מדורגים.

So I tracked down one of the folks who makes these things,

איתרתי את אחד מהחבר'ה שבונים את הדברים האלה,

this guy in Mali just outside of Bamako, and I asked him,

בחור ממאלי, מאזור באמאקו, ושאלתי אותו,

"How come you're making fractal fences? Because nobody else is."

"איך זה שאתה בונה גדרות פרקטליות? אף אחד לא עושה זאת."

And his answer was very interesting.

התשובה שלו היתה מאוד מעניינת.

He said, "Well, if I lived in the jungle, I would only use the long rows of straw

הוא אמר, "אם הייתי חי בג'ונגל הייתי משתמש רק בקני קש ארוכים.

because they're very quick and they're very cheap.

הם מאוד מהירים ומאוד זולים

It doesn't take much time, doesn't take much straw."

וכך לא צריך הרבה זמן ולא צריך הרבה קש,

He said, "but wind and dust goes through pretty easily.

אבל רוח ואבק חודרים דרכם בקלות.

Now, the tight rows up at the very top, they really hold out the wind and dust.

השורות הצפופות כאן למעלה מונעות כניסה של רוח ואבק.

But it takes a lot of time, and it takes a lot of straw because they're really tight."

אבל מכיוון שהן צפופות הן דורשות הרבה זמן והרבה קש."

"Now," he said, "we know from experience

והוא הסביר, "למדנו מהניסיון

that the farther up from the ground you go, the stronger the wind blows."

שככל שמתרחקים מהקרקע, הרוחות נושבות יותר חזק."

Right? It's just like a cost-benefit analysis.

ממש ניתוח עלות-תועלת.

And I measured out the lengths of straw,

מדדתי את אורכי הקשים,

put it on a log-log plot, got the scaling exponent,

הכנסתי אותם לתרשים לוג-לוג, קיבלתי את מעריך הסילום,

and it almost exactly matches the scaling exponent for the relationship between wind speed and height

וגיליתי שהוא מתאים כמעט בדיוק מושלם למעריך הסילום של היחס בין מהירות הרוח והגובה

in the wind engineering handbook.

בספרי הנדסת הרוח.

So these guys are right on target for a practical use of scaling technology.

כלומר, החבר'ה האלה קלעו למטרה והשתמשו בטכנולוגיות סילום.

The most complex example of an algorithmic approach to fractals that I found

הדוגמא המורכבת ביותר שמצאתי לגישה אלגוריתמית לפרקטלים

was actually not in geometry, it was in a symbolic code,

היתה, למעשה, לא בגיאומטריה אלא בקוד סימלי

and this was Bamana sand divination.

בהגדת עתידות באמצעות חול של הבאמאנה.

And the same divination system is found all over Africa.

שיטה זו של הגדת עתידות נפוצה בכל אפריקה.

You can find it on the East Coast as well as the West Coast,

ניתן למצוא אותה גם בחוף המזרחי וגם בחוף המערבי,

and often the symbols are very well preserved,

ולעיתים קרובות הסמלים נשמרים.

so each of these symbols has four bits -- it's a four-bit binary word --

כל סמל מורכב מ-4 ביטים - זוהי מילה בינארית בת 4 ביטים.

you draw these lines in the sand randomly, and then you count off,

מציירים את הקווים בחול באופן אקראי וסופרים אותם.

and if it's an odd number, you put down one stroke,

אם המספר אי-זוגי שמים קש אחד.

and if it's an even number, you put down two strokes.

אם המספר זוגי שמים 2 קשים.

And they did this very rapidly,

הם עשו זאת במהירות רבה.

and I couldn't understand where they were getting --

לא הצלחתי להבין לאן הם חותרים.

they only did the randomness four times --

הם חזרו על האקראיות רק במשך 4 פעמים.

I couldn't understand where they were getting the other 12 symbols.

לא הצלחתי להבין מאיפה הם קיבלו את 12 הסמלים האחרים.

And they wouldn't tell me.

הם לא הסכימו לגלות לי.

They said, "No, no, I can't tell you about this."

הם אמרו, "לא, לא, אסור לנו לספר לך."

And I said, "Well look, I'll pay you, you can be my teacher,

אמרתי, "תוכלו להיות המורים שלי,

and I'll come each day and pay you."

ובכל יום אני אבוא ואשלם לכם."

They said, "It's not a matter of money. This is a religious matter."

הם אמרו, "זה לא עניין של כסף. זהו עניין דתי."

And finally, out of desperation, I said,

לבסוף אמרתי מתוך יאוש,

"Well, let me explain Georg Cantor in 1877."

"תנו לי להסביר לכם על גיאורג קנטור ב-1877."

And I started explaining why I was there in Africa,

התחלתי להסביר למה הגעתי לאפריקה,

and they got very excited when they saw the Cantor set.

והם מאוד התרגשו כשראו את קבוצת קנטור.

And one of them said, "Come here. I think I can help you out here."

אחד מהם אמר, "בוא הנה. אני חושב שאני יכול לעזור לך."

And so he took me through the initiation ritual for a Bamana priest.

והוא העביר אותי את טקס החניכה של אנשי הדת של באמאנה.

And of course, I was only interested in the math,

אני התעניינתי רק במתמטיקה, כמובן.

so the whole time, he kept shaking his head going,

וכל הזמן, הוא נד בראשו

"You know, I didn't learn it this way."

"אני לא למדתי בדרך הזאת."

But I had to sleep with a kola nut next to my bed, buried in sand,

אבל הייתי חייב לישון עם אגוז קולה קבור בחול ליד מיטתי,

and give seven coins to seven lepers and so on.

ולתת 7 מטבעות ל-7 המצורעים וכו'.

And finally, he revealed the truth of the matter.

לבסוף הוא גילה לי את שורש העניין.

And it turns out it's a pseudo-random number generator using deterministic chaos.

מסתבר שמדובר במחולל מספרים פסיאודו-אקראיים תוך שימוש בכאוס דטרמיניסטי.

When you have a four-bit symbol, you then put it together with another one sideways.

כשיש לכם סמל עם 4 ביטים, אתם מוסיפים לו עוד ביט בצד.

So even plus odd gives you odd.

זוגי + אי-זוגי --> אי-זוגי.

Odd plus even gives you odd.

אי-זוגי + זוגי --> אי-זוגי.

Even plus even gives you even. Odd plus odd gives you even.

זוגי + זוגי --> זוגי. אי-זוגי + אי-זוגי --> זוגי.

It's addition modulo 2, just like in the parity bit check on your computer.

זהו חיבור מודולו 2, בדיוק כמו בדיקת סיבית הזוגיות במחשב.

And then you take this symbol, and you put it back in

לאחר מכן לוקחים את הסמל שנוצר ומחזירים אותו.

so it's a self-generating diversity of symbols.

זהו מחולל עצמי של מגוון סמלים.

They're truly using a kind of deterministic chaos in doing this.

הם ממש משתמשים בסוג של כאוס דטרמיניסטי.

Now, because it's a binary code,

מכיוון שמדובר בקוד בינארי

you can actually implement this in hardware --

אפשר ליישם אותו בחומרה.

what a fantastic teaching tool that should be in African engineering schools.

זהו אמצעי לימוד נפלא עבור בי"ס להנדסה באפריקה.

And the most interesting thing I found out about it was historical.

והדבר המעניין ביותר שמצאתי בקשר אליו הוא היסטורי.

In the 12th century, Hugo of Santalla brought it from Islamic mystics into Spain.

במאה ה-12, הוגו סנטליה הביא אותו ממניעים של מיתוסים איסלמיים אל ספרד.

And there it entered into the alchemy community as geomancy:

שם הוא נכנס לקהילת האלכימיה כגיאומנסיה -

divination through the earth.

ניחוש עתידות לפי הקרקע.

This is a geomantic chart drawn for King Richard II in 1390.

זהו שרטוט גיאומנטי משנת 1390 ששורטט עבור המלך ריצ'ארד השני.

Leibniz, the German mathematician,

לייבניץ, המתמטיקאי הגרמני,

talked about geomancy in his dissertation called "De Combinatoria."

דיבר על גיאומנסיה בחיבורו "דה קומבינטוריה".

And he said, "Well, instead of using one stroke and two strokes,

הוא אמר, "במקום להשתמש בקש אחד או שניים

let's use a one and a zero, and we can count by powers of two."

נשתמש ב-1 וב-0 ונספור בחזקות של 2."

Right? Ones and zeros, the binary code.

אחדים ואפסים - זהו הקוד הבינארי.

George Boole took Leibniz's binary code and created Boolean algebra,

ג'ורג' בול לקח את הקוד הבינארי של לייבניץ ויצר את האלגברה הבוליאנית.

and John von Neumann took Boolean algebra and created the digital computer.

ג'ון פון נוימן לקח את האלגברה הבוליאנית ויצר את המחשב הדיגיטלי.

So all these little PDAs and laptops --

כלומר, כל מחשבי כף היד, כל המחשבים הניידים

every digital circuit in the world -- started in Africa.

וכל מעגל דיגיטלי בעולם - התחילו באפריקה.

And I know Brian Eno says there's not enough Africa in computers,

בריאן אינו אומר שאין מספיק אפריקה במחשבים.

but you know, I don't think there's enough African history in Brian Eno.

לדעתי, אין מספיק היסטוריה אפריקאית בבריאן אינו.

(Laughter) (Applause)

[מחיאות כפיים]

So let me end with just a few words about applications that we've found for this.

אסיים בכמה מילים על יישומים שמצאנו.

And you can go to our website,

תוכלו למצוא אותם באתר שלי.

the applets are all free; they just run in the browser.

הם חינמיים ורצים בדפדפן.

Anybody in the world can use them.

כל אחד בעולם יכול להשתמש בהם.

The National Science Foundation's Broadening Participation in Computing program

התוכנית להרחבת השימוש במחשבים של קרן המדע הלאומית

recently awarded us a grant to make a programmable version of these design tools,

העניקה לנו לאחרונה מילגה כדי ליצור גירסה ניתנת לתיכנות של כלי התכנון האלה.

so hopefully in three years, anybody'll be able to go on the Web

בעוד 3 שנים כל אחד יוכל לגשת לאינטרנט

and create their own simulations and their own artifacts.

וליצור סימולציות וחפצים כרצונו.

We've focused in the U.S. on African-American students as well as Native American and Latino.

בארה"ב התמקדנו בתלמידים אפריקאים-אמריקאים, ילידים-אמריקאים ולטיניים.

We've found statistically significant improvement with children using this software in a mathematics class

ילדים שהשתמשו בתוכנה גילו שיפור משמעותי סטטיסטית בלימודי המתמטיקה שלהם,

in comparison with a control group that did not have the software.

בהשוואה לקבוצת בקרה שלא השתמשה בתוכנה זו.

So it's really very successful teaching children that they have a heritage that's about mathematics,

התוכנה מלמדת בהצלחה רבה ילדים שיש להם מורשת מתמטית,

that it's not just about singing and dancing.

ולא רק מורשת של שירה וריקודים.

We've started a pilot program in Ghana.

התחלנו תוכנית ניסיונית בגאנה.

We got a small seed grant, just to see if folks would be willing to work with us on this;

קיבלנו מענק גרעין קטן רק כדי לבדוק אם אנשים יסכימו לעבוד איתנו.

we're very excited about the future possibilities for that.

אנו מלאי התלהבות מהאפשרויות העתידיות של הפרויקט.

We've also been working in design.

עבדנו גם על תכנון.

I didn't put his name up here -- my colleague, Kerry, in Kenya, has come up with this great idea

שותפי בקניה, קרי, הציג את הרעיון הנפלא

for using fractal structure for postal address in villages that have fractal structure,

להשתמש במבנים פרקטלים עבור כתובת הדואר בכפרים בעלי מבנה פרקטלי.

because if you try to impose a grid structure postal system on a fractal village,

אם מנסים לכפות מערכת דואר עם מבנה רשת על כפר פרקטאלי -

it doesn't quite fit.

היא פשוט לא מתאימה.

Bernard Tschumi at Columbia University has finished using this in a design for a museum of African art.

ברנרד צ'ומי מאוניברסיטת קולומביה השתמש בפרקטלים בתכנון מוזיאון לאומנות אפריקאית.

David Hughes at Ohio State University has written a primer on Afrocentric architecture

דיוויד יוז מאוניברסיטת אוהיו כתב ספר לימוד על ארכיטקטורה אפרוסנטרית,

in which he's used some of these fractal structures.

בו הוא השתמש בכמה מהמבנים הפרקטלים האלה.

And finally, I just wanted to point out that this idea of self-organization,

ולסיום, ברצוני לציין שארגון-עצמי

as we heard earlier, it's in the brain.

נמצא גם במוח.

It's in the -- it's in Google's search engine.

הוא נמצא במנוע החיפוש של גוגל.

Actually, the reason that Google was such a success

למעשה, גוגל זכה להצלחה רבה כל כך

is because they were the first ones to take advantage of the self-organizing properties of the web.

כי הם הראשונים שניצלו את תכונות הארגון-העצמי של הרשת.

It's in ecological sustainability.

ארגון-עצמי נמצא בקיימות אקולוגית.

It's in the developmental power of entrepreneurship,

הוא נמצא בכוח ההתפתחותי של היזמות,

the ethical power of democracy.

ובכח האתי של הדמוקרטיה.

It's also in some bad things.

הוא נמצא גם בדברים רעים.

Self-organization is why the AIDS virus is spreading so fast.

ארגון-עצמי הוא הסיבה לכך שהאיידס מתפשט במהירות כה רבה.

And if you don't think that capitalism, which is self-organizing, can have destructive effects,

ואם אתם חושבים שלקפיטליזם, שגם לו ארגון-עצמי, אין השפעות הרסניות

you haven't opened your eyes enough.

אז לא התבוננתם מסביב מספיק.

So we need to think about, as was spoken earlier,

כמו שאמרו מקודם, אנו צריכים לחשוב

the traditional African methods for doing self-organization.

על השיטות האפריקאיות המסורתיות לביצוע ארגון-עצמי.

These are robust algorithms.

הן מהוות אלגוריתמים חסינים.

These are ways of doing self-organization -- of doing entrepreneurship --

אלו דרכים לביצוע ארגון-עצמי ויזמות

that are gentle, that are egalitarian.

שהן עדינות ודוגלות בשוויון זכויות.

So if we want to find a better way of doing that kind of work,

אם רוצים למצוא דרך טובה יותר לביצוע דברים כאלה,

we need look only no farther than Africa to find these robust self-organizing algorithms.

אנו צריכים לחפש אותה באפריקה באלגוריתמים החסינים עם הארגון-עצמי האלה.

Thank you.

תודה.