Group theory 101: How to play a Rubik’s Cube like a piano - Michael Staff

Prevodilac: Milenka Okuka Lektor: Mile Živković

How can you play a Rubik's Cube?

Kako da svirate na Rubikovoj kocki?

Not play with it, but play it like a piano?

Ne da se igrate njom, već da svirate na njoj kao na klaviru?

That question doesn't make a lot of sense at first,

To pitanje na priv pogled nema mnogo smisla,

but an abstract mathematical field called group theory holds the answer,

ali apstraktna matematička oblast, zvana teorija skupova, ima odgovor,

if you'll bear with me.

ako ostanete sa mnom.

In math, a group is a particular collection of elements.

Skup je u matematici određeni zbir članova.

That might be a set of integers,

to može da bude niz celih brojeva,

the face of a Rubik's Cube,

naličje Rubikove kocke

or anything,

ili bilo šta,

so long as they follow four specific rules, or axioms.

dokle god su ispoštovana četiri naročita pravila iliti aksioma.

Axiom one:

Prvi aksiom:

sve operacije moraju biti zatvorene iliti ograničene samo na članove skupa.

all group operations must be closed or restricted to only group elements.

So in our square, for any operation you do,

Dakle, kod našeg kvadrata, koju god operaciju da izvršite,

like turn it one way or the other,

bilo da ga okrenete na jednu ili na drugu stranu,

you'll still wind up with an element of the group.

na kraju ćete ipak dobiti član skupa.

Axiom two:

Drugi aksiom:

no matter where we put parentheses when we're doing a single group operation,

Bez obzira na to gde stavili zagradu, dok radimo operaciju u skupu,

we still get the same result.

dobićemo isti rezultat.

In other words, if we turn our square right two times, then right once,

Drugim rečima, ako okrenemo naš kvadrat dva puta na desno, onda jednom na desno,

that's the same as once, then twice,

to je isto kao jednom, pa onda dva puta na desno,

or for numbers, one plus two is the same as two plus one.

ili u slučaju dva broja, jedan plus dva je isto kao dva plus jedan.

Axiom three:

Treći aksiom:

for every operation, there's an element of our group called the identity.

za svaku operaciju, postoji član skupa koji se zove identitet.

When we apply it to any other element in our group,

Kada ga primenimo na bilo koji drugi član skupa,

we still get that element.

opet dobijamo taj član.

So for both turning the square and adding integers,

Pa je i za okretanje kvadrata i dodavanje celih brojeva

our identity here is zero,

naš identitet ovde nula.

not very exciting.

Nije naročito uzbudljivo.

Axiom four:

Četvrti aksiom:

every group element has an element called its inverse also in the group.

svaki član skupa ima takođe svoj takozvani inverzni član skupa.

When the two are brought together using the group's addition operation,

Kada se ova dva člana spoje, koristeći operaciju sabiranja u skupu,

they result in the identity element, zero,

njihov rezultat je identitetski član - nula,

so they can be thought of as cancelling each other out.

te se mogu posmatrati kao da jedan drugog poništavaju.

So that's all well and good, but what's the point of any of it?

Dakle, sve ovo zvuči bajno, ali koja je svrha svega ovoga?

Well, when we get beyond these basic rules,

Pa, kada prevaziđemo ova osnovna pravila,

some interesting properties emerge.

neka zanimljiva svojstva se pojavljuju.

For example, let's expand our square back into a full-fledged Rubik's Cube.

Na primer, proširimo naš kvadrat na kompletnu Rubikovu kocku.

This is still a group that satisfies all of our axioms,

To je i dalje skup koji zadovoljava naša sva četiri aksioma,

though now with considerably more elements

iako sada ima značajno više članova

and more operations.

i više operacija.

We can turn each row and column of each face.

Možemo da okrećemo svaki red i svaki stubac svake strane.

Each position is called a permutation,

Svaka pozicija se naziva permutacijom

and the more elements a group has, the more possible permutations there are.

i što više skup ima članova, postoji više mogućih permutacija.

A Rubik's Cube has more than 43 quintillion permutations,

Rubikova kocka ima preko 43 kvintiliona permutacija,

so trying to solve it randomly isn't going to work so well.

pa ako pokušate da je rešite nasumično nećete daleko odmaći.

However, using group theory we can analyze the cube

Međutim, koristeći teoriju skupova, možemo da analiziramo kocku

and determine a sequence of permutations that will result in a solution.

i da utvrdimo redosled permutacija koje će da rezultiraju tačnim rešenjem.

And, in fact, that's exactly what most solvers do,

I zapravo to većina uspešnih igrača i radi,

even using a group theory notation indicating turns.

čak koriste oznake iz teorije skupova kako bi ukazali na okretanja.

And it's not just good for puzzle solving.

Ovo nije samo korisno u rešavanju slagalica.

Group theory is deeply embedded in music, as well.

Teorija skupova je i duboko ugrađena u muziku.

One way to visualize a chord is to write out all twelve musical notes

Jedan od načina da zamislite akord jeste da zapišete svih 12 nota

and draw a square within them.

i da nacrtate kvadrat unutar njih.

We can start on any note, but let's use C since it's at the top.

Možemo početi bilo kojom notom, ali uzećemo C jer je na vrhu.

The resulting chord is called a diminished seventh chord.

Novonastali akord se zove sniženi sedmi akord.

Now this chord is a group whose elements are these four notes.

Dakle, ovaj akord je skup čiji su članovi ove četiri note.

The operation we can perform on it is to shift the bottom note to the top.

Operacija koju možemo da izvedemo je da pomerimo poslednju notu na vrh.

In music that's called an inversion,

U muzici se to zove inverzijom

and it's the equivalent of addition from earlier.

i ekvivalent je prethodno pomenutom sabiranju.

Each inversion changes the sound of the chord,

Svaka inverzija menja zvuk akorda,

but it never stops being a C diminished seventh.

ali on nikada ne prestaje da bude sniženi sedmi C akord.

In other words, it satisfies axiom one.

Drugim rečima, zadovoljava prvi aksiom.

Composers use inversions to manipulate a sequence of chords

Kompozitori koriste inverziju da bi udešavali redosled akorda

and avoid a blocky, awkward sounding progression.

i da bi izbegli zaglušujuću progresiju koja ne zvuči tečno.

On a musical staff, an inversion looks like this.

Na notnim linijama, inverzija izgleda ovako.

But we can also overlay it onto our square and get this.

Ali takođe je možemo preslikati na naš kvadrat i dobiti sledeće.

So, if you were to cover your entire Rubik's Cube with notes

Pa, ako biste prekrili čitavu Rubikovu kocku notama,

such that every face of the solved cube is a harmonious chord,

tako da je svaka strana rešene kocke harmonijski akord,

you could express the solution as a chord progression

mogli biste da izrazite rešenje u vidu akordske progresije

that gradually moves from discordance to harmony

koja se postepeno pomera od disonance do harmonije

and play the Rubik's Cube, if that's your thing.

i možete da zasvirate na Rubikovoj kocki, ako ste u tom fazonu.